+1 Daumen
175 Aufrufe

Guten Nachmittag,

die Funktion (1,2)= 12x1+95x2 besitzt unter der Nebenbedingung 36x12+64x22=2304 zwei lokale Extremstellen. Bezeichne (a1,a2) jene Extremstelle, in der den größeren Wert annimmt, und (b1,b2) jene Extremstelle, in der den kleineren Wert annimmt.
Welchen Wert hat (b1,b2)?

Ansatz:

Mir ist klar, dass ich das Problem anhand einer Lagrange-Optimierung lösen kann. Die Langrange-Funktion lautet:

L(x1,x2,λ)= 12x1+95x2 -λ(36x12+64x22-2304).

Aber wo liegt in der Vorgangsweise jetzt der Unterschied zwischen der Maximierung der Funktion und der Minimierung?


Vielen Dank!

MatheJoe

von

Leider komme ich bei der Optimierung nicht auf die richtige Lösung. Kann jemand erkennen, wo mein Fehler liegt?

L(x1,x2,λ)= 12x1+95x2 -λ(36x12+64x22-2304)

L'1 = 12-72λx1 = 0 (I)

L'2 = 95-128λx2 = 0 (II)

L'λ = -36x12+64x22-2304 = 0 (III)

λ=12/72x1 , λ=95/128x2

12/72x1 = 85/128x2        Ι*128x2   Ι*72x1

1536x2 = 6840x1

x2= 6840x1/1536

In Gleichung (III) einsetzen

-36x12 + 64*(6849x1/1536)2 = 2304

x12 = 1,815401684

x1=\( \sqrt{1,815401684} \)

x1= 1,347368

Laut Wolfram Alpha sollte aber 1,32866 herauskommen. Wo liegt der Fehler?

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

Es sind die Extrema einer Funktion \(f(x;y)\) unter einer Nebenbedingung \(g(x;y)=\text{const}\) gesucht:$$f(x;y)=12x+95y\quad;\quad g(x;y)=36x^2+64y^2=2304$$

Leider unterrichten die meisten Professoren das Vorgehen mittels der Lagrange-Funktion. Dabei ist die Sache viel einfacher. Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da es hier nur eine Nebenbedingung gibt, heißt das:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\quad\implies\quad\binom{12}{95}=\lambda\binom{72x}{128y}$$

Wir dividieren die beiden Koordinatengleichungen und erhalten:

$$\frac{12}{95}=\frac{\lambda\cdot72x}{\lambda\cdot128y}\quad\implies\quad y=\frac{72\cdot95}{128\cdot12}\,x=\frac{3\cdot95}{64}\,x\quad\implies\quad \underline{\underline{y=\frac{285}{64}\,x}}$$

Diese Forderung setzen wir in die Nebenbedingung ein:

$$2304=36x^2+64\left(\frac{285}{64}\,x\right)^2=\left(\frac{36\cdot64}{64}+\frac{285^2}{64}\right)x^2=\frac{83\,529}{64}\,x^2\quad\implies$$$$x=\pm\sqrt{\frac{2304\cdot64}{83\,529}}=\pm\sqrt{\frac{16384}{9281}}=\pm\frac{128}{\sqrt{9281}}$$$$y=\frac{285}{64}\cdot\left(\pm\frac{128}{\sqrt{9281}}\right)=\pm\frac{570}{\sqrt{9281}}$$

Das liefert uns zwei Kandidaten für Extremstellen:

$$P_1\left(\frac{128}{\sqrt{9281}}\,\bigg|\,\frac{570}{\sqrt{9281}}\right)\approx(1,329|5,917)$$$$P_2\left(\frac{-128}{\sqrt{9281}}\,\bigg|\,\frac{-570}{\sqrt{9281}}\right)\approx(-1,329|-5,917)$$

Wegen der Funktionsgleichung ist sofort klar, dass bei \(P_1\) mit \(6\sqrt{9281}\) ein Maximum und bei \(P_2\) mit \(-6\sqrt{9281}\) ein Minimum liegt.

von 67 k 🚀

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community