Extremwertaufgabe - Welche Maße hat das Rechteck?

Question

Aufgabe:

¹/₂₅x⁴ -²/₃x²  + ⁹/₅  und den Achsen soll im 1. Quadranten ein Rechteck mit maximalem Inhalt einbeschrieben werden.

Welche Maße hat das Rechteck?

Problem/Ansatz:

Ich komme bei dieser Aufgabe ganz und gar nicht weiter! Bitte keine Lösungen sondern nur die Schrittfolge, wie ich nun das berechne erklären. Leider hat mein Mathe Buch keine Lösungsansätze, weshalb ich mir es durch das Internet beibringen muss.

Comments

A(x)= x*f(x)

Berechne: A '(x) = 0

https://www.wolframalpha.com/input/?i=maximize%281%2F25x%5E4-2%2F3x%5E2%2B9%2F5%29*x

Answer 1

sieht so aus: ~plot~ x^4/25-2*x^2/3+9/5 ~plot~

Vermutlich soll ja eine Ecke des Rechtecks in (0;0) liegen

und die anderen beiden auf den Achsen und die 4. auf

dem Graphen im Bereich von 0 bis 1,84 (kleinste positive Nullstelle)

Wenn diese 4. Ecke bei ( x;y ) liegt mit

y = f(x) =  x^4/25-2*x^2/3+9/5

dann hat das Rechteck die Flächenmaßzahl

A(x) = x*y = x*( x^4/25-2*x^2/3+9/5)

Das ist dann eine Funktion mit Defbereich [0 ;  1,84]

von der du das Maximum bestimmen musst.

Ich glaube das liegt bei x=1.

Answer 2

Flächeninhalt A(x)=x·(x⁴/25-2x³/3-9/5)

A'(x)=(x⁴-10x²+9)/5

0=(x⁴-10x²+9)/5 Multipliziern mit 5 und z=x² substituieren:

0=z²-10z+9 pq-Formel

z=9 und z=1.

Dann ist x=3 oder x=1

Einsetzen in die 2. Ableitung A''(x)=4x³/5-4x

ergibt ein Maximum für x=1