Question

Wie oft ist die Funktion f(x) = 1/2 * x * |x| differenzierbar? Ich hatte mir gedacht dabei eine Fallunterscheidung zu machen:

1.Fall: x > 0 f(x) = 1/2 x^2

f'(x) = x

f''(x) = 1

2.Fall: x <= 0 f(x) = -1/2*x^2

f'(x) = -x

f''(x) = -1

Ich bin aber irgendwie nicht sicher, ob ich das bis hierhin überhaupt richtig gemacht habe und ob die Funktion dann nur einmal oder 2mal differenzierbar ist.

Comments

Hi, außerhalb von \(x=0\) ist die Funktion beliebig oft differenzierbar. Du kannst dich daher allein auf die Differenzierbarkeit an der Stelle \(x=0\) konzentrieren!

Answer 1

Die Funktion ist für x = 0 stetig und

1 mal differenzieren ergibt

Linksseitiger Grenzwert lim x −> 0(-) [ -x ] = 0
Rechtsseitiger Grenzwert lim x −> 0(+) [ x ] = 0

Ist also diff-bar.

2. Ableitung
ist bei x = 0 nicht stetig
linksseitig = -1
rechtsseitig = +1

Ist also nicht mehr diff-bar.

Die Funktion f(x) = 1/2 * x * |x| ist also 1 mal differenzierbar.

Comments

Offenbar möchtest von der Nichtstetigkeit einer Ableitung auf deren Nichtexistenz schließen. Das kann man so nicht machen.

Answer 2

f(x) = 1/2·x·|x|

f'(x) = |x|

f''(x) = x/|x|   Vorzeichen von x

Die 2. Ableitung ist nicht mehr an der Stelle 0 definiert.

Daher ist die Funktion nur 1. mal auf ganz R differnenzierbar.

Comments

mathecoach, ist  |x| differenzierbar ?

~plot~ abs(x) ~plot~

Stetig ja
Differenzierbar nein.

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Nur an einer Stelle ist die Funktion nicht differenzierbar.

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Das reicht. mfg Georg

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f''(x) = x/|x|   Vorzeichen von x
Die 2. Ableitung ist nicht mehr an der Stelle 0 definiert.
Daher ist die Funktion nur 1. mal auf ganz R differnenzierbar.

Bisher wurde die Funktion \(f'\) mit Hilfe von Ableitungsregeln nur an den Stellen \(x\ne0\) differenziert. Offensichtlich ist der entstandene Term an der Stelle \(x=0\) nicht definiert, was aber nicht bedeutet, dass \(f'\) dort nicht differenzierbar sein könnte.

Es ist vollkommen klar, dass \(y=|x|\) an \(x=0\) nicht differenzierbar ist, nur folgt das eben nicht aus dem Gesagten!

Answer 3

Aus Duplikat:

meine Aufgabe lauetet : Gegeben ist die Funktion f : R→R ...mit f(x) =0,5x * |x|

wie oft ist die funktion differenzierbar..?

Ich habe folgendes gemacht..

Für x>0 bekomme ich : f(x)=0,5x*x = 0,5x² ..(funktion 2.grades, also 2mal differenzierbar)

Für x<0 gilt : f(x) = 0,5x *(-x) = -0,5x²(auch 2mal differenzierbar).

Habe ich die Aufgabe richtig bearbeitet oder ist da was anderes gefragt.

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Hi, wie schon andernorts mitgeteilt, ist die Funktion außerhalb von \(x=0\) beliebig oft differenzierbar, nicht aber an der Stelle \(x=0\) selbst. Die Funktion besteht aus zwei Ästen quadratische Funktionen, die an der Stelle \(x=0\) differenzierbar verbunden sind. Nur an dieser Stelle muss genauer hingesehen werden.