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Die Höhe h auf der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ABC teilt dies in die beiden rechtwinkligen Dreiecke AHC und HBC. r1 sei der Radius des Inkreises von ABC, r2 sei der Radius des Inkreises von AHC und r3 sei der Radius des Inkreises von HBC. Drücken Sie h durch r1, r2 und r3 aus.

von 102 k 🚀

1 Antwort

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Hallo Roland,

ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabenstellung richtig verstanden habe.

Mein Vorschlag mit r1:

blob.png

Die Fläche des Dreiecks ABC lässt sich in die Dreiecke AMB, BMC und CMB aufteilen.

\(A=\frac{c\cdot r}{2}+\frac{a\cdot r}{2}+\frac{b\cdot r}{2}=\frac{r(a+b+c)}{2}\\A=\frac{c\cdot h}{2}\\\Rightarrow r(a+b+c)=c\cdot h\\h=\frac{r(a+b+c)}{c}\)

Grüße, Silvia

von 23 k

Du hast den Punkt H nicht benannt und die Inkreise der Dreiecke AHC und HBC nicht gezeichnet oder ihre Radien berechnet

Ja, denn ich wollte erst einmal von dir wissen, ob ich auf dem richtigen Weg bin.

Das kann ich nicht beurteilen, da dein Weg ja schon früh abbricht. Alles, was du schreibst, ist aber richtig.

Dann mache ich auf dem Wege einfach mal weiter.

Ja - das solltest du tun.

blob.png


 \(h=r_1+r_2+r_3\), aber ich kann dir noch nicht sagen, warum ;-)

Das Ergebnis ist richtig. Der Beweis ist nicht einfach.

Das merke ich! Aber noch gebe ich nicht auf...

So, hier die Kurzfassung meiner seitenlangen Versuche:

\(h=\frac{ab}{c}\\r_1=\frac{ab}{a+b+c}\quad r_2=\frac{b}{c}\cdot r_1\quad r_3=\frac{a}{c}\cdot r_1\)

Da ich das Ziel kenne, habe ich bei r2 und r3    \(r_1=\frac{ab}{a+b+c}\) eingesetzt und

addiert:

\(\frac{abc}{c\cdot (a+b+c)}+\frac{ab^2}{c\cdot(a+b+c)}+\frac{a^2b}{c(a+b+c)}=\\ \frac{abc+ab^2+a^2b}{c(a+b+c)}=\frac{ab(a+b+c)}{c(a+b+c)}=\frac{ab}{c}=h\)

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