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Wachstumsfunktion:

Der Durchmesser eines Nadelbaumes wird in einer Höhe von 1,50m gemessen und annäherungsweise durch die Funktion beschrieben:

blob.png

D in Meter [m], t in Jahre


Text erkannt:

\( D(t)=\frac{1}{1+e^{-0,045 *(t-50)}} \)

a) Bestimmen Sie den Anfangswert D(t=0) und die Sättigungsgrenze S(t -> + unendlich)


Mein Ansatz:

D(t=0) ≈0,095 m zum Zeitpunkt t  ist das richtig?


Wie ermittle ich den Sättigungswert? Vermute mal, es hat was mit dem Grenzwert zu tun aber wie genau weiß ich nicht.. kann mir da jemand bitte auf die Sprünge helfen?

LG

von

eine weitere Frage:

zu bestimmen ist der Wendepunkt von D(t) und die Gleichung der Wendetangente.. da habe ich absolut keinen Schimmer..

Vielleicht die 2. Ableitung bilden.?

@georgborn

Eine weitere Frage wäre:

Ein Nadelbaum hat einen Durchmesser von 0,45m. Bestimmen sie dessen Alter.

Ich würde die Funktion D(t)=0,45 gleichsetzen und nach t umstellen. Jedoch finde ich es schwierig da das t im Nenner ist..

Was wäre da die Vorgehensweise?

LG

1 / [ 1 + e^(-0.045 * (t-50)) ] = 0.45
1 / 0.45 = 1 + e^(-0.045 * (t-50))
1 / 0.45 - 1 = e^(-0.045 * (t-50))

1.222 = e^(-0.045 * (t-50))   | ln
ln (1.222) = -0.045 * ( t - 50 )
-4.4553 = t - 50
t = 45.54 Jahre

Verstehe, danke!

gern geschehen.

2 Antworten

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Beste Antwort

lim t -> ∞
∞ - 50 = ∞

- 0.045 * ∞ = - ∞
e ^(-∞) = 0
1 + 0 = 1
1/1 = 1

Der Durchmesser geht gegen 1 m

von 110 k 🚀

eine weitere Frage:

zu bestimmen ist der Wendepunkt von D(t) und die Gleichung der Wendetangente.. da habe ich absolut keinen Ansatz....

Vielleicht die 2. Ableitung bilden.?

D ( t ) = 1 / [ 1 + e^(-0.045 * (t-50)) ]

Ohne GTR oder Matheprogramm wohl
nicht berechenbar
Wendepunkt ( 50 | 0.5 )
Steigung am Wendepunkt 0.01125

Tangente
0.01125 * 50 + b = 0.5
b = - 0.0625

Tangente ( t ) = 0.01125 * t - 0.0625

Die Aufgabe ist viel zu schwer.

gm-175.JPG

Ich danke vielmals. Hmm.. irgendwie muss es wohl gehen, dürfen nämlich keinen Taschenrechner benutzen und das auf eigene Faust hinkriegen

Haben mir aber trotzdem weitergeholfen!

zu Fuß geht es nicht.
Die 2.Ableitung ist eine
ellenlange Formel.
Ich mußte das Newtonsche Näherungs-
verfahren anwenden.

Verstehe, ich danke Ihnen vielmals für Ihre Mühe!

Ich habe noch einen Kommentar verfasst weiter oben, könnten Sie sich den bitte mal anschauen? LG

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a) ist richtig

D(t) geht gg 1 für x gg. +oo, da die e-Funktion gg, 0 geht.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%281%2Be%5E%28-0.045*%28t-50%29%29%29

von 57 k 🚀

Danke für die Antwort.

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