Integral mittels Gammafunktion lösen

Question

Berechne das Integral $\int\limits_{-\infty}^{\infty}$ $e^{-x^2}$dx.

Problem/Ansatz:

Drücken Sie das Integral unter Verwendung der Symmetrie des Integranden zunächst 2
durch eines über dem Intervall $[0,\infty[$ aus. Substituieren Sie sodann $u = x^2$ . Das sich ergebende Integral vergleichen Sie mit der Definition der Gammafunktion. Verwende Sie schließlich folgende Beziehung:

$\Gamma(z)\cdot \Gamma(1-z) = \frac{π}{\sin (\pi\cdot z)},\quad z\in ]0,1[$

Vielen Dank!

Comments

Hallo,

wenn Du Dich in Deiner mathematischen Ausbildung bis zur Gamma-Funktion vorgearbeitet hast, solltest Du doch die Substitutionsregel für Integrale locker anwenden können.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

Die Berechnung des Integrals$$I\coloneqq\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\,???$$ist mit dem angegebenen Tipp maximal kompliziert. Daher möchte ich einen anderen Weg vorschlagen. Anstelle von $I$ berechnen wir $I^2$:$$I^2=I\cdot I=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx\cdot\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\,dy=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\cdot e^{-y^2}\,dx\,dy=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$$

Wir gehen nun zu Polarkoordinaten über:$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\quad;\quad r\in[0;\infty]\;,\;\varphi\in[0;2\pi]$$und substituieren entsprechend:

$$I^2=\int\limits_0^\infty\int\limits_0^{2\pi}e^{-r^2}\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_0^\infty re^{-r^2}\,dr=2\pi\left[-\frac{e^{-r^2}}{2}\right]_0^\infty=2\pi\left(0+\frac{1}{2}\right)=\pi$$

Damit sind wir fertig:$$I=\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}$$