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Ich habe hier eine Lineare Funktion: f(x)=3x+1

Sind Lineare Funktionen immer bijektiv?

f : Z -> Z

Z = (ganze Zahlen)

von

Ist die Gleichung f(x)=2 lösbar?

y=2

Sieht so aus:

blob.png

Mhh.. gute frage. Also Lösen kann man die Gleichung nicht.

Die Funktion ist nicht Injektiv, nicht Surjektiv und auch nicht Bijektiv

Naja, ganz so schlimm ist es nun auch wieder nicht.

Also Bijektiv ist sie nicht.

Kannst du mir sagen, ob die Surjektiv oder Injektiv ist? Und warum.


EDIT: Sie ist Surjektiv oder?

Die Unlösbarkeit von Gleichungen wie f(x)=2 zeigt, dass f nicht surjektiv ist. Daher ist sie natürlich auch nicht bijektiv. Injektiv ist sie allerdings schon, aber das war ja nicht die Frage.

Injektiv ergibt doch keinen Sinn?


Injektiv: Für jedes Y existiert höchstens ein X.


Für jedes Y, also bei uns Y=2 existiert höchstens ein X. Wir haben aber unendlich viele X werte. Weil egal welchen X wert ich mir ansehen, haben wir für Y=2

Injektiv: Für jedes Y existiert höchstens ein X.

Ja, das trifft hier zu.

blob.png

Aber wir haben doch "einen" Y Wert, verteilt auf verschiedene x werte. Also ist die Funktion nicht Injektiv, weil wir für den Y wert von "2" unendlich viele X Werte haben.

@Martin: Du ignorierst " f : Z -> Z " als Teil der Definiton von f.

Aber auch bei "f : Z → Z" ist die Funktion nicht Injektiv, da den ganzen X Werten z.b [0,1,2..] nur "ein" Y wert zugeordnet wird.

Also ein y Wert von 2 und unendlich viele X Werte. Also ist die Funktion f(x)= 2 surjektiv.


Injektiv macht ja keinen Sinn, weil es dort heißt: "für jedes y existiert höchstens ein x".

f ist injektiv, aber nicht surjektiv!

Aber warum?

Es existieren unendlich viele x Werte.

Also ein y Wert von 2 und unendlich viele X Werte. Also ist die Funktion f(x)= 2 surjektiv.

Zu y=2 aus dem Zielbereich Z von f gibt es kein x aus dem Definitionsbereich Z von f mit f(x)=2. Also ist f nicht surjektiv!

Injektiv macht ja keinen Sinn, weil es dort heißt: "für jedes y existiert höchstens ein x".

Was soll das denn heißen? Weil zu jedem y aus dem Zielbereich Z von f höchstens ein x aus dem Definitionsbereich Z von f mit f(x)=y existiert, ist f injektiv!

2 Antworten

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Ich habe hier eine Lineare Funktion: f(x)=3x+1

Die ist auf \(\mathbb{Z}\) nicht bijektiv, weil sie wegen \(f(x)\neq 0 \,\forall x\in \mathbb{Z}\) nicht surjektiv ist.

von 71 k 🚀

Achso, deswegen:


blob.png

\( f(x) \neq 0 \forall x \in \mathbb{Z} \)

Was meinst du mit dieser Aussage?

"nicht Bijektiv, da y nicht Null ist und das für alle x werte aus Z."

da y nicht Null ist und das für alle x werte aus Z.

Ja, genau.

Kannst du das veranschaulichen oder auf eine andere Art und weiße beschreiben? Ich kann damit so nicht viel anfangen.

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Ich ergänze deine Zeichnung mal folgendermassen:

~plot~ 1;2;3;3x+1; [[-6|6|-5|5]] ~plot~

https://www.matheretter.de/rechner/plotlux?draw=1%3B2%3B3%3B4%3B3x%26plus%3B1%3B%5B%5B-6%7C6%7C-5%7C5%5D%5D

Nun hier ZxZ (die Schnittpunkte auf dem Koordinatengitter ) dazudenken.

Zur Funktion gehören nur solche Schnittpunkte.

Diskussion zu den Begriffen bereits in den Kommentaren zur Frage.

von 161 k 🚀

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