Polynom Nullstelle zerlegbar

Question

Text erkannt:

(a) Zeigen Sie, dass ein Polynom $f \in K[X]$ vom Grad 2 oder 3 genau dann zerlegbar ist, wenn $f$ eine Nullstelle in $K$ besitzt.
(b) Sei $f(X)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} \in \mathbb{Z}[X]$ ein Polynom mit einer Nullstelle $z \in \mathbb{Z}$. Zeigen Sie, dass dann $z \mid a_{0}$ gilt.

Text erkannt:

Bestimmen Sie mit Hilfe des Verfahrens von Krylow die Minimalpolynome von $\phi$ und $\psi$.
(a) Zeigen Sie, dass ein Polynom $f \in K[X]$ vom Grad 2 oder 3 genau dann zerlegbar ist, wenn $f$ eine Nullstelle in $K$ besitzt.
(b) Sei $f(X)=\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} X^{i} \in \mathbb{Z}[X]$ ein Polynom mit einer Nullstelle $z \in \mathbb{Z}$. Zeigen Sie, dass dann $z \mid a_{0}$ gilt.

Comments

Wann heißt ein Polynom denn zerlegbar?

Answer 1

Wenn z eine Nullstelle ist gilt

$\sum \limits_{i=0}^{n} a_{i} z^{i} =0$

$\sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} z^{i} = -a_{0}$

$z* \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} z^{i-1} = -a_{0}$

$z* (- \sum \limits_{i=1}^{n} a_{i} z^{i-1} )= a_{0}$

Also ist a_o ein Produkt ganzer Zahlen (Denn die a_i sind ja auch alle aus Z.)

bei dem der eine Faktor z ist. Also z | a_o .