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könnte mir jemand bei diesen Aufgaben helfen bzw. erklären wie ich sie lösen soll? (Mit Rechenweg & Formeln bitte). Da dies ein recht neues Thema ist, habe ich Schwierigkeiten mich mit dem Thema auseinanderzusetzen.


Gegeben sei eine Ebene E durch die Punkte A(1|–1|2), B(2|1|8) und C(–1|–2|2).


a) Gebe eine Parameterform dieser Ebene an. Beachte die „Verabredung“ zum Aufstellen dieser Parameterform!


b) Wandele diese Parameterform in eine Koordinatengleichung um, indem du die Parameter eliminieren!


c) Überprüfe, ob der Punkt D(3|3|7) in der Ebene E liegt!


d) Bestimme die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen und zeichne das die Lage der Ebene veranschaulichende Dreieck in ein geeignetes Koordinatensystem!


e) Bestimme den Neigungswinkel φ der Ebene E gegen die x1/x2-Ebene!


f) Bestimme den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden g, die durch
die Punkte P(2|1|2) und Q(1|0|1) verläuft!


g) Welchen Winkel ℘ schließen g und E ein?


h) Welchen Abstand hat der Punkt Z1(–4|1|–1) von E?


i) Welchen Abstand hat Z2(1|2|– 4) von g?

von

Eine laaaange Liste mit Fragen ist für die Antwortenden abschreckend! Das weißt Du schon - oder?

Und welche „Verabredung“ Du mit jemanden hast, um die die Parameterform aufzustellen, können wir doch gar nicht wissen.

wie ist die denn?

Was ist daran schlimm nun viele Fragen zu stellen? Ich vermute mal, dass jetzt gedacht wird, dass andere meine Aufgaben erledigen sollen. Das stimmt nicht. Ich habe Schwierigkeiten bei dem Thema und habe auch nicht nach einer Lösung gefragt. Hauptsächlich frage ich, WIE ich diese lösen soll. Von einem Ergebnis war nie von einer Rede.

Was ist daran schlimm nun viele Fragen zu stellen?

es ist nicht schlimm! Nur wissen wir so nicht, wo Dein Problem liegt. Mancher fängt jetzt damit an, die Paramterform aufzustellen (s.u. Mathecoach), aber vielleicht kannst Du das und Dein Problem liegt eher darin, diese in eine Koordinatenform umzuwandeln.

Das können wir alles nicht wissen. Und es ist schlicht arbeitsaufwändig die komplette Frage zu erklären(!). Einfach nur vorrechnen wäre einfacher.

Wenn ich erwähne, dass ich Probleme habe mit diesem Thema, dann meine ich es auch... Ich weiß die genauren Formeln nicht und wie ich diese Aufgabe lösen soll...

Ich weiß die genauren Formeln nicht

VERGISS irgendwelche Formeln bei der linearen Algebra!!

Ich habe gerade noch mal Deinen sonstigen Fragen angeschaut. Du hast tatsächlich massive Lücken. Aber Du lernst es nicht aus Formeln. Ganz essentiell ist die anschauliche Vorstellung.

Nebenher hab ich das gezaubert:

blob.png

(klick auf das Bild)

Ich werde Dir später antworten, falls es sonst niemand tut, i.A. habe ich keine Zeit.

.. und nochwas: ich empfinde es als sehr positiv, dass Du hier auf Kommentare und Nachfragen antwortest.

Vielen Dank, ich finde die Vorstellung viel zu kompliziert um mich an die Aufgaben ranzumachen. Da finde ich die Formeln im allgemeinen viel leichter.

Beachte die „Verabredung“ zum Aufstellen

Welche Verabredung hat Eure Lehrkraft denn dazu mit Euch getroffen? Du ignorierst diese bereits weiter oben gestellte Frage.

Ich würde es beantworten wenn ich es wüsste, die Definition steht nirgendwo in meinen Unterlagen.

Dann schreib halt, dass Du nicht mehr in Erfahrung bringen kannst, welche Verabredung mit Euch getroffen wurde. Aber nicht nachvollziehen kann ich wie Du meinst, dass andere es wissen und Du dann darum bittest, es gemäß dieser unbekannten Verabredung zu lösen. Nur Du kannst herausfinden, was es für eine Verabredung war und was demzufolge hier als Antwort erwartet wird.

Ich dachte vielleicht kommt der Begriff in der Analytischen Geometrie so vor. Ich kanns ja auch nicht genau wissen.

An Deiner Stelle würde ich den Aufgabensteller fragen, wie es gemeint ist.

2 Antworten

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Gegeben sei eine Ebene E durch die Punkte A(1|–1|2), B(2|1|8) und C(–1|–2|2).

a) Gebe eine Parameterform dieser Ebene an. Beachte die „Verabredung“ zum Aufstellen dieser Parameterform!

Meist ist die Verabredung das man den Ortsvektor A als Stützvektor und die Verbindungsvektoren AB und AC als Richtungsvektoren benutzt. Das sieht dann wie folgt aus:

AB = B - A = [1, 2, 6]
AC = C - A = [-2, -1, 0]

E: X = [1, -1, 2] + r * [1, 2, 6] + s * [-2, -1, 0]

von 381 k 🚀

Vielen Dank! Könnest du mir eventuell bei den anderen Aufgaben auch helfen?

b) Wandele diese Parameterform in eine Koordinatengleichung um, indem du die Parameter eliminieren!

Vermutlich habt ihr das bereits im Unterricht gemacht. Schreibe also die Parameterform als 3 einzelne Gleichungen auf und Eliminiere die Parameter r und s durch das Additionsverfahren. Dann hast du eine Gleichung in der nur noch x, y und z vorkommen.

Das Additionsverfahren ist mir bekannt.

Wenn ich die Parameterform in 3 Gleichungen zerlege, habe ich doch trotzdem noch r und s? Wie komme ich auf x, y und z?

Nachdem du die Parameterform in 3 Gleichungen zerlegt hast wendest du das additionsverfahren an. Das ist ja letztendlich dazu da eine unerwünschte Unbekannte zu entfernen.

Die 2 Ergebnisse dann nach x und y benennen? Jedoch würde z dann fehlen

Du hast folgendes Gleichungssystem:

\(x=1+r-2s\\y=-1+2r-s\\z=2+6r\)

Multipliziere die 2. Gleichung mit -2 und addiere sie zur ersten. Du erhältst

\(x-2y=3-3r\)

Jetzt arbeitest du mit diesen zwei Gleichungen weiter:

\(z=2+6r\\x-2y=3-3r\)

Multipliziere die 2. Gleichung mit 2 und addiere sie zur ersten. Du erhältst

\(2(x-2y)+z=8\\2x-4y+z=8\)

und damit die Ebene in Koordinatenform.

Gruß, Silvia

Danke! Was meinst du mit dem letzten Satz? Muss ich nach x,y,z auflösen?

Du musst nichts mehr machen. 2x - 4y + z = 8 ist die Gleichung der Ebene in der Koordinatenform.

Aso..Danke! Kannst du mir bei den anderen Aufgaben auch helfen?

Ich versuche es

c) Überprüfe, ob der Punkt D(3|3|7) in der Ebene E liegt!

Setze die Koordinaten des Punktes in die Koordinatenform der Ebene ein und schau, ob eine wahre Aussage wie z.B. 8 = 8 erhältst. Dann liegt der Punkt auf der Ebene. Wenn du eine falsche Aussage wie z.B. 1 = 8 bekommst, liegt der Punkt nicht darauf.

Die Koordinatenform ist 2x - 4y + z = 8, richtig?


Dann wäre das 2 * 3 - 4 * 3 + 7 = 1


Also, liegt der Punkt nicht auf der Ebene.


Dankeschön.


Was muss ich bei den restlichen Aufgaben machen?

d) Bestimme die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen und zeichne das die Lage der Ebene veranschaulichende Dreieck in ein geeignetes Koordinatensystem!

\(2x-4y+z=8\)

Beim Schnittpunkt mit der x-Achse sind y und z = 0, also bleibt noch

2x = 8

x = 4

Also hat der Schnittpunkt mit der x-Achse die Koordinaten (4|0|0)

So verfährst du auch mit den anderen beiden Achsen. Zeichnung s. Antwort von Werner Salomon.

e) Bestimme den Neigungswinkel φ der Ebene E gegen die x1/x2-Ebene!

Die xy-Ebene kannst du schreiben als z = 0

Den Winkel zwischen zwei Ebenen ist der spitze Winkel zwischen ihren Normalenvektoren.

Dazu verwendest du die Formel

\(cos\alpha=\frac{|\vec{n}\circ\vec{m}|}{|\vec{n}|\cdot|\vec{m}|}\)

d) Bestimme die Schnittpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen und zeichne das die Lage der Ebene veranschaulichende Dreieck in ein geeignetes Koordinatensystem!

Mich stört das du nicht mal etwas probierst. Vermutlich ist [x, 0, 0] ein Schnittpunkt mit der x-Achse. Also bräuchte man nur y und z gleich Null setzen und nach x auflösen.

Man kann aber auch direkt in die Achsenabschnittsform umwandeln.

2·x - 4·y + z = 8

x/4 - y/2 + z/8 = 1

Wie kannst du an dieser Form jetzt die Achsenabschnitte erkennen?

Danke Silvia.


Ist mit Achsenabschnitt, y-Achsenabschnitt gemeint?

Wenn, ja gibt es bei der ersten glaube ich keins und bei der zweiten wäre es z/8?

Du sollst die Schnittpunkte der Ebene mit den drei Koordinatenachsen bestimmen.

Dazu hat der Mathecoach dir gezeigt, wie du die Koordinatenform der Ebene in die Achsenabschnittsform der Ebene umwandelst, und zwar indem du auf beiden Seiten durch 8 teilst.

Dann erhältst du x/4 - y/2 + z/8 = 1

Jetzt schau dir nochmal meine Antwort an:

Also hat der Schnittpunkt mit der x-Achse die Koordinaten (4|0|0)

Diesen Punkt kann man aus der Abschnittsform auch ablesen.

Wie lauten also dann die Koordinaten der anderen Schnittpunkte?

(4|2|8) ???

× = 4

y = 2

x = 8


Ist das so richtig?

Ja, das ist richtig. Ich weiß nicht, in welcher Form ihr die Schnittpunkte angeben sollt. Möglich wäre auch \(SP_1(4|0|0)\quad SP_2=(0|2|0)\quad SP_3(0|0|8) \)

Einfach nur S1/2/3 hätte glaube ich auch gereicht (kenne ich so von der Mittelstufe noch).

Danke dir!

Wobei es statt (0 | 2 | 0) natürlich (0 | - 2 | 0) lauten muss. Ich bitte das zu berücksichtigen.

+1 Daumen

Hallo,

ich finde die Vorstellung viel zu kompliziert ... da finde ich die Formeln im allgemeinen viel leichter.

zumindest eine qualitative räumliche Vorstellung ist IMHO unerlässlich. Auf jeden Fall vereinfacht sie das Lösen solcher Aufgaben ungemein - das ist sicher. Lernst Du nur irgendwelche Formeln (welche eigentlich?), dann wäre das so als ab Du versuchst, Fahrrad fahren zu lernen, indem Du die Anzahl der Pedalen und Speichen am Fahrrad auswendig lernst ;-)

OK - zurück zur Aufgabe: wenn ich das richtig überblicke, so fehlen noch die Aufgabenteile f) bis i)

f) Bestimme den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Geraden g, die durch
die Punkte P(2|1|2) und Q(1|0|1) verläuft!

Die Gerade \(g\) ist$$g:\quad \vec x = P + t(Q-P)= \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -1\end{pmatrix}$$Frag' bitte nach, wenn Dir hier was unklar ist. Und die Ebene in Koordinatenform ist $$E: \quad 2x-4y+z=8 $$Das kann man umschreiben in die vektorielle Form (die Normalenform der Ebene)$$E: \quad \begin{pmatrix}2\\ -4\\ 1\end{pmatrix} \cdot \vec x= 8, \quad \vec x = \begin{pmatrix}x\\ y\\ z\end{pmatrix}$$das ist wirklich nur eine andere Schreibweise. Wenn Du das Skalarprodukt auf der linken Seite ausmultiplizierst, so erhältst Du unmittelbar die Koordinatenform. Dieser Vektor, der vor dem \(\vec x\) steht, ist ein Normalenvektor der Ebene \(E\). D.h. er steht senkrecht auf der Ebene, wie folgendes Bild zeigt:

blob.png

Klicke bitte auf das Bild, dann öffnet sich Geoknecht3D mit dieser Szene und Du kannst die Szene mit der Maus rotieren und bekommst so einen besseren räumlichen Eindruck.

Und um den Schnittpunkt von \(E\) und \(g\) zu berechne, setzt man für das \(\vec x\) einfach das \(g\) ein:$$\begin{aligned}\begin{pmatrix}2\\ -4\\ 1\end{pmatrix} \cdot \left( \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + t_s\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -1\end{pmatrix}\right) &= 8 \\ 2 + t_s \cdot 1 &= 8 \\ \implies t_s &= 8-2 = 6 \end{aligned}$$Falls Du nicht weißt, wie ich von der ersten auf die zweite Zeile komme, so frage bitte nach. Das Ergebnis ist der Wert von \(t=t_s\), für den ein Punkt auf der Gerade auch ein Punkt der Ebene ist. Um zu diesem Punkt \(S\) zu kommen, setzt man das \(t_s\) in die Geradengleichung von \(g\) ein$$ \implies S = g(t_s) = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + (t_s=6)\begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\ -5\\ -4\end{pmatrix}$$Schau Dir das in folgendem Bild nochmal an (klicken)

blob.png

auf dem Bild kannst Du auch in etwa abschätzen, dass man die Strecke \(PQ\) \(t_s=6\)-mal zurücklegen muss, um vom Punkt \(P\) zum Punkt \(S\) zu kommen.



g) Welchen Winkel ℘ schließen g und E ein?

Für diesen Winkel brauchst Du den Normalenvektor \(\vec n\) der Ebene und den Richtungsvektor \(\vec r\) der Geraden. Ist der Winkel zwischen \(\vec n\) und \(\vec r\) gleich \(\alpha\), so ist \(℘ = 90° - \alpha\). Auch diese 'Formel' muss man nicht auswendig lernen, sondern sie folgt unmittelbar anschaulich, wenn man sich das im Detail ansieht

blob.png

Dort siehst Du den blauen Richtungsvektor \(\vec r\) und den roten Normalenvektor \(\vec n\), den Winkel \(\alpha\) (gelb) zwischen diesen beiden Vektoren. Und daraus folgt anschaulich, dass der Winkel \(℘\) (rot) zwischen der Geraden \(g\) und der Ebene eben die Differenz von \(\alpha\) zu \(90°\) sein muss. Die Berechnung ist$$℘ = 90° - \alpha \\ \phantom{℘} = 90° - \arccos\left( \frac{\vec n \cdot \vec r}{|\vec n| \cdot |\vec r|}\right) \\ \phantom{℘} = 90° - \arccos\left( \frac{1}{\sqrt{3 \cdot 21}}\right) \\ \phantom{℘} \approx 7,2° $$


h) Welchen Abstand hat der Punkt Z1(–4|1|–1) von E?

Um den Abstand eines Punkes zu einer Ebene zu berechnen, wandelt man die Normalenform der Ebene in die Hessesche Normalenform um. Dazu teilt man die Normalenform durch den Betrag des Normalenvektors \(\vec n\), so dass der neue Normalenvektor die Länge 1 hat. Also$$|\vec n|=\left| \begin{pmatrix}2\\ -4\\ 1\end{pmatrix}\right| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{21} \\E: \quad \frac 1{\sqrt{21}}\begin{pmatrix}2\\ -4\\ 1\end{pmatrix} \vec x - \frac 8{\sqrt{21}} = 0$$Setzt man nun den Punkt \(Z_1\) für das \(\vec x\) in der Ebenengleichung ein, so liefert der Ausdruck den Betrag des Abstands \(e_{Z1}\):$$e_{Z1} = \left| \frac 1{\sqrt{21}}\begin{pmatrix}2\\ -4\\ 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-4\\ 1\\ -1\end{pmatrix} - \frac 8{\sqrt{21}}\right| = \sqrt{21} \approx 4,58$$Auch dieser Zusammenhang folgt aus der Anschauung über das Skalarprodukt. Wenn Du mehr dazu wissen willst, so frage nochmal nach.


i) Welchen Abstand hat Z2(1|2|– 4) von g?

Wie die Abstandsberechnung zwischen Punkt \(Z_2\) und Gerade \(g\) funktioniert, kann man sich an folgendem Bild klar machen:

blob.png

Dort siehst Du die (schwarze) Gerade \(g\) mit dem Stützpunkt \(P\) und dem normierten Richtungsvektor \(\vec r^*\) (blau) sowie dem Differenzvektor \(\vec{Z_2P} = Z_2-P\) (braun) zwischen den Punkten \(Z_2\) und \(P\). Nun ist der Abstand zwischen \(P\) und dem Fußpunkt \(F\) genau das Skalarprodukt von \(\vec{Z_2P}\) und \(\vec r^*\). Und wenn man von \(P\) nach \(F\) kommen will, so muss man also die Entfernung \(\vec{Z_2P} \cdot \vec r^*\) zurück legen. Also ist \(F\):$$F = P + \left( \vec{Z_2P} \cdot \vec r^*\right) \vec r^* \phantom{F} = P + \left( \vec{Z_2P} \cdot \frac{\vec r}{|\vec r|}\right)\frac{\vec r}{|\vec r|} \\ \phantom{F} = P + \frac{\vec{Z_2P} \cdot \vec r}{\vec r^2} \vec r$$Einsetzen der Größen gibt hier$$F = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + \frac{6}{2} \begin{pmatrix}-1\\ -1\\ -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -1\\ 0\end{pmatrix} $$und das Abstand ist dann \(|Z_2F| = \sqrt{26}\).

Und falls Du Fragen hast, so frage bitte.

Gruß Werner

von 34 k

Antwort fertig gestellt

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