Ist diese Funktion differenzierbar oder sogar stetig differenzierbar?

Question

Aufgabe:

Untersuchen sie, wo die Funktion

Text erkannt:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} \sin \frac{1}{x} & \text { falls } x \neq 0 \\ 0 & \text { falls } x=0\end{array}\right.$

differenzierbar ist, und berechnen Sie die Ableitung. Ist diese Funktion stetig differenzierbar?

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand weiter helfen, denn ich weiß wirklich nicht wo ich da anfangen soll?

Comments

Hallo,

für $x \neq 0$ ist die Funktion als Verknüpfung von elementaren Funktionen definiert. Differenzierbarkeit und Berechnung der Ableitung für diese Punkte folgt aus den standardmäßigen Differentiationsregeln.

Im Punkt $x=0$  musst Du die Definition der Ableitung über den Differenzenquotienten averwenden.

Gruß Mathhilf

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Für alle $x \neq 0$ habe ich es jetzt gezeigt.

Für $x = 0$ bin ich mir aber noch unsicher.

wenn ich jetzt $x_0 = 0$ in $\lim_{x\rightarrow x_{0}} \frac{ f(x) - f(x_{0})} {x - x_{0}}$ einsetze, dann komm ich auf $\lim_{x\rightarrow 0} \frac{ x^{2}sin{\frac{1}{x}} - 0} {x - 0}$.

Aber wie weiß ich jetzt ob die Funktion an der stelle x = 0 differenzierbar ist?

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dürft ihr l'hopital verwenden? Dann könntest du dies anschließend anwenden

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Warum nicht einfach $x$ kürzen?

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Danach ;) er muss ja noch den Grenzwert ausrechnen. Ach sorry ja er sollte einfach eine Abschätzung machen(Sandwich-Satz), nicht l'hopital

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Der Grenzwert ist also 0. Was sagt dies jedoch über die differenzierbarkeit der Funktion aus?

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Hallo,

es gilt:

$$\frac{1}{x}(f(x)-f(0))=x \sin (\frac{1}{x}) \to 0 (x \to 0)$$

Daher ist nach Definition der Differenzierbarkeit f im Nullpunkt differenzierbar mit $f'(0)=0$.

Du bist nun in der Situation, dass Du hier im Forum 2 abweichende "Lösungen" erhalten hast. Wenn es dabei bleibt, wirst Du selbst Deine Unterlagen sorgfältig prüfen müssen, um zu entscheiden, was richtig ist.

Gruß Mathhilf

Answer 1

Aloha :)

Wir betrachten die Funktion:$$f(x)=\left\{\begin{array}{lcl}x^2\,\sin\frac{1}{x}&\text{falls}& x\ne0\\0 &\text{falls}& x=0\end{array}\right.$$

Wir prüfen zunächst, ob $f(x)$ an der Stelle $x=0$ stetig ist.$$-1\le\sin\frac{1}{x}\le+1\implies -x^2\le x^2\sin\frac{1}{x}<x^2\implies$$$$\lim\limits_{x\to0}(-x^2)\le\lim\limits_{x\to0}(x^2\sin\frac{1}{x})\le\lim\limits_{x\to0}(x^2)\implies0\le\lim\limits_{x\to0}(x^2\sin\frac{1}{x})\le0\implies$$$$\lim\limits_{x\to0}(x^2\sin\frac{1}{x})=0$$$f(x)$ ist also stetig bei $x=0$.

Nun prüfen wir, ob die links- und die rechtsseitige Ableitung bei $x=0$ existieren und gleich groß sind:$$x\ne0\implies f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}+x^2\cos\frac{1}{x}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$$Für $x\to0$ konvergiert $f'(x)$ weder von links $(x\nearrow0)$ noch von rechts $(x\searrow0)$ her.

Daher ist $f(x)$ bei $x=0$ nicht differenzierbar und damit auch nicht stetig differenzierbar.

Comments

Immer wieder der gleiche Fehler.