Weisen Sie nach, dass f(x) = x2+x+1 irreduzibel über Z5 ist

Question

Aufgabe:

Weisen Sie nach, dass f(x) = x^2+x+1 irreduzibel über Z5 ist

Problem/Ansatz:

Stimmt es, wenn ich das so beweise?

x+1 → irreduzibel, weil es nicht weiter teilbar ist

x^2 → Da weiß ich nicht wie ich ds beweisen soll?

Comments

bei 5 möglichen Lösungen ist das Durchprobieren natürlich am einfachsten. Ansonsten kanst Du es auch mit der quadratischen Ergänzung versuchen: $$\begin{aligned} x^2 + x + 1 &\equiv 0 \mod 5\\ x^2 + x + 4 + 2 &\equiv 0 \mod 5\\(x+3)^2 + 2 &\equiv 0 \mod 5\\ (x+3)^2  &\equiv 3 \mod 5\\ \end{aligned}$$Die \(3\) ist in \(\mathbb Z_5\) keine Quadratzahl, daher gibt es keine Lösung

Answer 1

Ein monisches Polynom vom Grad 2 über einer Domäne R ist reduzierbar, wenn es eine Nullstelle in R hat.

Die Elemente in Z5 sind 0,1,2,3,4.

Wir setzten diese Element im Polynom in und prüfen ob es eine Nullstelle in Z5 gibt.

$$0 : 0^2+0+1=1\neq 0\mod 5 \\ 1 : 1^2+1+1=3\neq 0\mod 5 \\ 2 : 2^2+2+1=7\equiv 2\mod 5\neq 0\mod 5 \\ 3 : 3^2+3+1=13 \equiv 3\mod 5\neq 0\mod 5 \\ 4 : 4^2+4+1=21\equiv 1\mod 5\neq 0\mod 5 $$ Somit ist das Polynom irreduzibel über Z5.