gleichungen in komplex

Question

Aufgabe:

was sind die LÖSUNGEN mit rechenweg bitte von

z⁴ + (2-2i)z² = 4i.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Substtituiere z²=u und löse die quadratische Gleichung

u² + (2-2i)u - 4i = 0

Vergiss nicht die Rücksubstitution.

Comments

aber bekomme ich wurzel von negative werte mit i

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Das ist im Komplexen ganz normal.

Finde nun die beiden komplexen Zahlen, deren Quadrat diese "negativen Werte mit i" (schreib doch mal, was du konkret damit meinst)  ergeben.

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ich habe die beide u1 und u2 gerechnet und habe bekommen u1=1-i+wurzel von -6

u2=1-i-wurzel von -6i

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wie mache ich weiter dass wusste ich nicht

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Es gilt $u=-1+i\pm\sqrt{(-1+i)^2+4i}$ und somit

 $u=-1+i\pm\sqrt{(-2-2i)+4i}$

=$-1+i\pm\sqrt{-2+2i}$

$\sqrt{-2+2i}$ sind die beiden komplexen Zahlen z=a+bi, für die

(a+bi)²= -2+2i gilt.

Multipliziere (a+bi)² aus und mache einen Koeffizientenvergleich mit  -2+2i.

Answer 2

z⁴ + (2-2i)z² = 4i

(z^2+1-i)^2= 4i+(1-i)^2=4i+1-2i+i^2=2i  | $\sqrt{}$

1.) z^2=i-1+$\sqrt{2i}$

..........

Text erkannt:

$\sqrt{2 i}=\sqrt{1+2 i-1}=\sqrt{1+2 i+i^{2}}=\sqrt{(i+1)^{2}}=i+1$

1.) z^2=i-1+i+1 = 2i |$\sqrt{}$

z₁=$\sqrt{2i}$=i+1

z₂=-$\sqrt{2i}$=-i-1

2.) z^2=i-1-$\sqrt{2i}$=i-1-i-1=-2  |$\sqrt{}$

z₃=i*$\sqrt{2}$

z₄=-i*$\sqrt{2}$