Berechne den Flächeninhalt des Vierecks ABCD für A (-1,5|-2,5), B (2|-1), C (4|2) und D (0,5|3).

Question

Aufgabe:

Berechne den Flächeninhalt des Vierecks ABCD für A (-1,5|-2,5), B (2|-1), C (4|2) und D (0,5|3).

Problem/Ansatz

Answer 1

Zeichne ein Rechteck um das Viereck herum, so dass die Seiten des Rechtecks parallel zu den Koordinantenachsen liegen. Subtrahiere vom Flächeninhalt des Rechtecks den Flächeninhalt der Teile, die nicht zum Viereck gehören.

Answer 2

Berechne die Länge x der Strecke DB, den Abstand y des Punktes A von BD und den Abstand z des Punktes C von BD. Dann ist die gesuchte Fläche x/2·(y+z).

Answer 3

Aloha :)

Da unbekannt ist, ob es sich um ein Rechteck handelt, teilen wir das Viereck in zwei Dreiecke auf

Dreieck 1: A(-1,5|-2,5), B(2|-1), D(0,5|3)

Dreieck 2: B(2|-1), C(4|2), D(0,5|3)

Diese beiden Dreiecke werden durch je zwei Richtungsvektoren aufgespannt:

Dreieck 1: \(\overrightarrow{AB}=\binom{2}{-1}-\binom{-1,5}{-2,5}=\binom{3,5}{1,5}\;;\;\overrightarrow{AD}=\binom{0,5}{3}-\binom{-1,5}{-2,5}=\binom{2}{5,5}\)

Dreieck 2: \(\overrightarrow{BC}=\binom{4}{2}-\binom{2}{-1}=\binom{2}{3}\;\quad;\;\overrightarrow{BD}=\binom{0,5}{3}-\binom{2}{-1}=\binom{-1,5}{4}\)

Die gesuche Viereckfläche ist daher:

$$F=\left|\frac{1}{2}\operatorname{det}\begin{pmatrix}3,5 & 2\\1,5 & 5,5\end{pmatrix}\right|+\left|\frac{1}{2}\operatorname{det}\begin{pmatrix}2 & -1,5\\3 & 4\end{pmatrix}\right|$$$$\phantom{F}=\frac{1}{2}|3,5\cdot5,5-1,5\cdot2|+\frac{1}{2}|2\cdot4+3\cdot1,5|$$$$\phantom{F}=\frac{1}{2}\cdot16,25+\frac{1}{2}\cdot12,5=14,375$$