Lagebeziehungen von Ebenen

Question

Untersuche die Lagebeziehung der beiden Ebenen E1 und E2 und berechne die Gleichung der Schnittgeraden s.

E1: 3x-2y+z=4

E2: X=(3,-2,7)+s(2,3,-1)+t(3,0,2)

Ich habe mir die Ebene 2 ausgerechnet und es ist mir rausgekommen: 6x-7y-9z=-31

danach habe ich für z=t eingesetzt

Ich habe mir y ausgerechnet: y=13+33t

Jetzt wollte ich mir x ausrechnen, aber mir kommt als Ergebnis etwas falsches raus, es sollte eigentlich x=10+25t rauskommen. Deshalb wollte ich fragen, wie ich weiterrechnen soll wenn ich mir x ausrechen will?

z wäre dann z=0+t-9

Vielen dank für die Hilfe

Answer 1

n2 = [2, 3, -1] ⨯ [3, 0, 2] = [6, -7, -9]

Damit liegen die Ebenen nicht parallel und schneiden sich in einer Geraden.

[3, -2, 7] + r·[2, 3, -1] + s·[3, 0, 2] = [2·r + 3·s + 3, 3·r - 2, -r + 2·s + 7]

3·(2·r + 3·s + 3) - 2·(3·r - 2) + (-r + 2·s + 7) = 4 --> r = 11·s + 16

Schnittgerade

gs: x = [3, -2, 7] + (11·s + 16)·[2, 3, -1] + s·[3, 0, 2] = [35, 46, -9] + s·[25, 33, - 9]

Comments

Danke, aber laut den Lösungen, die ich habe, kommt für die Schnittgerade X=(10,13,0) + s · (25,33,-9). Wie ist das möglich ?

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Du siehst das mein richtungsvektor lienear abhängig ist. und was passiert, wenn ich meinen richtungsvektor von meinem Stützvektor subtrahiere? Dann erhalte ich einen neuen Stützvektor der mit dem in der Lösung auffallend übereinstimmt.

Fazit. Meine Lösung ist eine identische Gerade zu der in der Lösung angegebenen.

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Hier noch eine andere Methode

3·x - 2·y + z = 4
6·x - 7·y - 9·z = -31

II - 2*I

- 3·y - 11·z = -39 --> y = 13 - 11/3·z

3·x - 2·(13 - 11/3·z) + z = 4 --> x = 10 - 25/9·z

mit z = 9·t

y = 13 - 33·t
x = 10 - 25·t

Also

gs: x = [10, 13, 0] + t·[-25, -33, 9]

Answer 2

3x-2y+z=4  und  6x-7y-9z=-31   dann z=t in beide einsetzen

3x - 2y = 4-t  und  
6x -7y = -31 +9t           2*erste minus zweite gibt

3y = 8-2t+62-18t =  -20t + 70  und  3x - 2y = 4-t

y =  -20t/3  + 70/3   und 3x - 2y = 4-t

==>                       3x + 40t/3 -140/3  = 4-t

 ==>                        3x =  152/3 -43t/3

 ==>                           x = 152/9 -43t/9.

Also (x;y;z) = ( 152/9 -43t/9 ;  -20t/3  + 70/3 ; t )

         = ( 152/9 ;   70/3 ;  0  ) +  ( -43t/9 ;  -20t/3  ; t )  mit 9 strecken!

= ( 152/9 ;  70/3 ;  0  ) + t * ( -43 ;  -60  ; 9)

Answer 3

Ich habe mir die Ebene 2 ausgerechnet und es ist mir rausgekommen: 6x-7y-9z=-31

Dann sind die Ebenen nicht parallel oder identisch (Normalenvektor von E₁ ist kein k-Faches vom Normalenvektor von E₂. Also gibt es eine Schnittgerade. Diese berechnet man so: Setze die Parameterform von E₂ in die Normalenform von E₁ ein. Ausmultiplizieren ergibt eine Beziehung zwischen s und t: s=at+b in die Parameterform von E₂ eingesetzt und etwas vereinfacht, ergibt die Geradengleichung der Schnittgeraden