Beweise wenn a^2 gerade ist dann ist a auch gerade

Question

Aufgabe

beweise: Wenn a^2 gerade ist, dann ist a auch gerade

Problem/Ansatz:

ich hab leider nur Beispiele jedoch kein beweis

Answer 1

Hallo

am einfachsten ist ein Widerspruchsbeweis, angenommen a ist ungerade, was weisst du über ug*ug?

Gruß lul

Answer 2

a^2=2n

Beh. 2|a

Annahme a=2m+1

a^2=(2m+1)^2

=4m^2+4m+1

=2*m*(2m+2)+1 → ungerade!

Widerspruch zur Annahme!

:-)

Answer 3

Hallo :-)

Du kannst auch einen Beweis durch Kontraposition machen, d.h., wenn \(a\) ungerade ist, dann ist auch \(a^2\) ungerade.

Beweis. Sei \(a\in \mathbb{Z}\) ungerade. Also gibt es ein \(n\in \mathbb{Z}\) mit \(a=2n+1\). Dann gilt weiter \(a^2=(2n+1)^2=4n^2+4n+1=2\underbrace{(2n+2)n}_{=:m}+1=2m+1\). Damit ist \(a^2\) ebenfalls ungerade.