Aufgabenkontrolle, Untervektorraeume, Beweis

Question

Hallo,

könnte mir jemand sagen, ob folgende Lösung bzw. Beweis richtig ist? Oder ob noch etwas fehlt?

Es geht darum zu überprüfen, ob eine Menge ein Unterraum ist.

Die Aufgabe: $$W_1 = \left\{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end {pmatrix}\in \mathbb{R}^3 :\space x + y = z\right\} \subseteq \mathbb{R}^3$$

Lösung:

1. Nullvektor-Test: 0 + 0 = 0

2. Betrachte: w1 + w2

Sei:

w1 = (x1,y1,z1) //vektor

w2 = (x2,y2,z2) //vektor

(x1+x2) + (y1+y2) = (z1 + z2)

Zu zeigen:

(x1 + y1) + (x2 + y2) = (z1 + z2)

Ist das gleiche wie: (x1 + x2) + (y1 + y2) = (z1 + z2)

3. Betrachte λ*w1

λ*x + λ*y = λ*z

Zu zeigen:

x + y = z        | *λ

λ*x + λ*y = λ*z

W1 ist abgeschlossen bezüglich der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation. Also ist W1 ein Untervektorraum.

Text erkannt:

$W_{1}=\left\{\left(\begin{array}{l}* \\ 2\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3} \mid x+Y=z\right\} \subseteq \mathbb{R}^{3}$
Nullvelitor-Test: $0+0=0$
$\left(x_{1}+x_{2}\right)+\left(r_{n}+Y_{2}\right)=\left(z_{1}+z_{2}\right) \quad \Leftarrow$ Giet dus ?
zu zaigen:
$\left(x_{1}+I_{n}\right)+\left(x_{2}+Y_{2}\right)=\left(2_{1}+z_{2}\right) \triangleq\left(x_{1}+x_{2}\right)+\left(Y_{n}+Y_{2}\right)=\left(z_{1}+z_{2}\right)$
(3) Betrachte $\lambda \cdot W_{1}$ $\lambda \cdot x+\lambda \cdot r=\lambda \cdot 2 \quad \ll=$ Giet dus?
Zu zeigen:
$x+y=z \quad 1 \cdot \lambda$
$\lambda x+\lambda y=\lambda z$

Vielen dank!

Answer 1

Hallo:-)

Es geht schon in die richtige Richtung, allerdings etwas verwirrend aufgeschrieben. Schreibe ruhig genauer auf, woraus du deine Elemente nimmst. Also:

Seien $w_1,w_2\in W_1$ mit $w_1:=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix},\space w_2:=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}$ beliebig.

Zeige, dass $w_1+w_2\in W_1$ gilt.

Es gilt $x_1+y_1=z_1$ und $x_2+y_2=z_2$. Damit folgt also

$(x_1+x_2)+(y_1+y_2)=z_1+z_2$.

Also ist $w_1+w_2=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\\z_1\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_2\\y_2\\z_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\y_1+y_2\\z_1+z_2\end{pmatrix}\in W_1$.

Und auf die Art und Weise kannst du auch dasselbe mit der Skalarmultiplikation machen.

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Genau da war ich mir auch etwas unsicher.

Answer 2

Hallo

das ist alles richtig.

Gruß lul

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Danke fürs drübergucken :)