Question

Wie viele natürliche Zahlen ≤ 10^5 sind weder Quadratzahlen, noch Kubikzahlen, noch durch 5 teilbar?

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guckst Du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Prinzip_von_Inklusion_und_Exklusion.

Answer 1

Hallo,

es sind die Zahlen gesucht, die weder durch 5 teilbar, noch quadratisch, noch kubisch sind. Dann ziehe doch die alle mal von \(10^5\) ab$$10^5 - (|M_5| + |M_Q| + |M_K| ) \dots$$Upps - jetzt habe ich aber zu viele abgezogen. Es gibt doch sicher Zahlen, die sowohl qudratisch als auch durch 5 teilbar sind. Und solche Kubikzahlen, die durch 5 teilbar sind und Zahlen die sowohl quadratisch als auch kubisch sind. Die haben wir nun doppelt abgezogen, müssen also wieder addiert werden$$10^5 - (|M_5| + |M_Q| + |M_K| ) +|M_{5Q}| + |M_{5K}| + |M_{QK}| \dots$$und wenn es nun noch Zahlen gibt, für die alles drei zutrifft, so haben wir die nun zu viel addiert. Also ist final$$10^5 - (|M_5| + |M_Q| + |M_K|) +|M_{5Q}| + |M_{5K}| + |M_{QK}| - |M_{5QK}| = 79715$$Die einzelnen Werte der Mächtigkeiten der Mengen seien hier noch mal aufgezählt:$$|M_5| = \frac 15 \cdot 10^5 = 20000\\ |M_Q| = \lfloor \sqrt{10^5} \rfloor = 316 \\ |M_K| = \lfloor \sqrt[3]{10^5} \rfloor = 46 \\ |M_{5Q}| = \left\lfloor \frac 15 |M_Q|\right\rfloor = 63 \\ |M_{5K}| = \left\lfloor \frac 15 |M_K|\right\rfloor = 9 \\ |M_{QK}|= \left\lfloor \sqrt{M_K}\right\rfloor = 6 \\ |M_{5QK}| =\left\lfloor \frac 15|M_{QK}|\right\rfloor = 1 = |\{5^6\}|$$Und dazu gibt es auch einen Wikipedia-Artikel. Man nennt es das Inklusion-Exklusion Prinzip.

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Vielen Dank!

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Na, 0 ist auch eine natürliche Zahl...

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Na, 0 ist auch eine natürliche Zahl...

Als ich zur Schule ging, war das so. In diesem Forum habe ich gelernt, dass dem nicht (mehr) so ist. Zumindest soll ja nun $$0 \not \in \mathbb N$$sein. Zur Klarstellung: die obige Kalkulation gilt für \(\mathbb N\) und nicht für \(\mathbb N_0\). Für das Ergebnis ist es aber irrelevant, da die 0 in jedem Fall nicht bei den gesuchten Zahlen dabei ist.

Answer 2

Ich hatte nicht richtig gelesen, deshalb ist diese

Antwort unsinnig. Pardon !

Die Kubikzahl 22^3 = 10648 ist zu groß,

also braucht man nur die 3. Potenzen von 0 bis 21 zu prüfen.

0^3 = 0 ist durch 5 teilbar, gehört also nicht dazu.

1^3 klappt

Primzahlen hoch 3 sind keine Quadratzahlen

also fallen aus die 3. Potenzen von 2,3,5,7,11,13,17,19.

5^3,10^3,15^3 und 20^3 sind alle durch 5 teilbar,
fallen also auch aus.

4^3 = 8^2 ist auch nicht durch 5 teilbar, klappt also

6^3 , 8^3 keine Quadratzahlen

9^3 = 27^2 klappt.

12^3,14^3  keine Quadratzahlen

16^3 =64^2 klappt

18^3keine Quadratzahl.

Also gibt es nur

1^3, 4^3, 9^3 und 16^3.

Das sind genau die 3.Potenzen der von 0 verschiedenen

Quadratzahlen unter 22.

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Die Kubikzahl 22^3 = 10648 ist zu groß,

Zu groß für was?

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Um als eine der gesuchten Zahlen in Frage zu kommen.

Ach so, ich sehe gerade: Es sind nicht die

Kubikzahlen gesucht, sondern die, die KEINE sind.

Pardon, ich lösche meine Antwort.

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Die größte Zahl, die wir haben ist 10^5 = 100 000.