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Aufgabe:

Äquivalenz beweisen


Problem/Ansatz:

Die Aufgabe ist etwas verwirrend, da man alle Aufgaben miteinander beweisen mussScreenshot 2021-04-30 161105.png

Text erkannt:

Übungsaufgabe \( 4.3 \) Sei \( p \in \mathbb{N}_{+} . \) Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:
(i) \( p \in \mathbb{P} \);
(ii) \( \forall a, b \in \mathbb{Z}: p \mid a b \Rightarrow(p \mid a) \vee(p \mid b) ; \)
(iii) \( p \) hat genau zwei verschiedene positive Teiler.

von

Ist die Menge P irgendwie definiert?

Ich denke mal, dass das die Menge der Primzahlen sein soll, oder?

xxxxxxx fehlerhaft xxxxxx

Warum nicht?

Hier diskutieren inzwischen 3 Mitglieder - aber nicht der Fragesteller. Ich mache da nicht mehr mit.

Sorry, ich war kurz weg...Die Menge sind die Primzahlen deshalb IP und p ist eine Primzahl, deshalb sind die Assagen schon stimmig, da Primzahlen durch 2 Werte Teilbar ist.

Den Beweis dafür kann ich leider nicht mathematisch richtig aufschreiben ...

Aussage (iii) ist die Definition der Aussage (i). Definitionen werden nicht bewiesen.

Ja, ist es, aber man soll die Äquivalenzrelation der Aussagen i ii iii zeigen...und das versuche ich zu erfragen

Man soll die Äquivalenz der Aussagen (i), (ii) und  (iii) zeigen. Die Äquivalenz der Aussagen (i) und (iii) gilt per Definition.

okay, dann fehlt nur die Äquivalenz von i zu ii und ii zu iii.

Und deswegen kann aber (iii) nicht zugleich mit (i) gelten?

wie bitte? Alle Aussagen GELTEN, aber es müsste gezeigt werden, weshalb die gelten! Aussage i und iii gelten per Definition.

Vielleicht kommen wir weiter, wenn der Fragesteller mal die Original-Definiton der Primzahlen aus seiner Vorlesung hier zitiert.

Gruß Mathhilf

Screenshot 2021-04-21 123401.png

Text erkannt:

3.1.12 Satz (Lemma von Euklid). Seien \( a, b \in \mathbb{Z} \) und \( n \in \mathbb{N}_{+} \) gegeben mit \( \operatorname{ggT}(a, n)=1 \). Dann gilt
$$ n|a b \Longrightarrow n| b $$
Insbesondere gilt für \( p \in \mathbb{P} \), dass
$$ p \mid a b \Longrightarrow(p \mid a) \vee(p \mid b) $$
3 Ganzzahlige Arithmetik
$$ 30 $$
Beweis. Wegen \( n \mid a b \) existiert ein \( k \in \mathbb{Z} \) mit \( k n=a b . \) Mit Satz 3.1.11 existieren \( x, y \in \mathbb{Z} \) mit \( 1=x a+y n . \) Multiplizieren wir diese Gleichung mit \( b \), so erhalten wir
$$ b=b(x a)+b(y n)=(a b) x+n b y=(k n) x+n b y=n(k x+b y) $$
Dies bedeutet \( n \mid b \). Sei nun \( p \in \mathbb{P} \) eine Primzahl mit \( p \mid a b \). Für \( \operatorname{ggT}(a, p) \) gibt es nur zwei Fälle. Falls \( \operatorname{ggT}(a, p)=p \), so gilt \( p \mid a \). Falls ggT \( (a, p)=1 \), so folgt aus dem ersten Teil \( p \mid b \). Insgesamt folgt also \( (p \mid a) \vee(p \mid b) \).

1 Antwort

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marcellino du schlingel, du schickst einfach die ha hier rein

von

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