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Aufgabe:

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a) Für welches N∈N gilt das erste Mal an − 2/3 < 0,01?

Text erkannt:

Sei an : =2n+63n+8R a_{n}:=\frac{2 n+6}{3 n+8} \in \mathbb{R} für alle nN n \in \mathbb{N} .

b) Gilt für allen n ≥ N die Ungleichung |an − 2/3| < 0,01?

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Es soll geltenan23<1100    2n+63n+823<1100    29n+24<1100    n>1769\begin{aligned}&&\left\lvert a_n-\frac23\right\rvert&<\frac1{100}\\\iff&&\left\lvert\frac{2n+6}{3n+8}-\frac23\right\rvert&<\frac1{100}\\\iff&&\frac2{9n+24}&<\frac1{100}\\\iff&&n&>\frac{176}9\end{aligned}Also ist n=20n=20 das erste, welches die Ungleichung erfüllt. Für alle größeren nn gilt die Ungleichung natürlich auch.

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(2n+6)/(3n+8) - 2/3< 0.01

(2n+6)/(3n+8)< 1/100+2/3

(2n+6)/(3n+8)< 203/300

300*(2n+6) < 203*(3n+8)

600n+1800 < 609n+1624

176 < 9 n

n > 176/9 = 19,55555...

n=20

:-)



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