Aufgabe:
a) Für welches N∈N gilt das erste Mal an − 2/3 < 0,01?
Text erkannt:
Sei an : =2n+63n+8∈R a_{n}:=\frac{2 n+6}{3 n+8} \in \mathbb{R} an : =3n+82n+6∈R für alle n∈N n \in \mathbb{N} n∈N.
b) Gilt für allen n ≥ N die Ungleichung |an − 2/3| < 0,01?
Es soll gelten∣an−23∣<1100 ⟺ ∣2n+63n+8−23∣<1100 ⟺ 29n+24<1100 ⟺ n>1769\begin{aligned}&&\left\lvert a_n-\frac23\right\rvert&<\frac1{100}\\\iff&&\left\lvert\frac{2n+6}{3n+8}-\frac23\right\rvert&<\frac1{100}\\\iff&&\frac2{9n+24}&<\frac1{100}\\\iff&&n&>\frac{176}9\end{aligned}⟺⟺⟺∣∣∣∣∣an−32∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣3n+82n+6−32∣∣∣∣∣9n+242n<1001<1001<1001>9176Also ist n=20n=20n=20 das erste, welches die Ungleichung erfüllt. Für alle größeren nnn gilt die Ungleichung natürlich auch.
(2n+6)/(3n+8) - 2/3< 0.01
(2n+6)/(3n+8)< 1/100+2/3
(2n+6)/(3n+8)< 203/300
300*(2n+6) < 203*(3n+8)
600n+1800 < 609n+1624
176 < 9 n
n > 176/9 = 19,55555...
n=20
:-)
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