Ι S(M) Ι = Ι S(M ohne {a}) Ι * Ι M Ι

Question

Aufgabe:

Ich soll aus dem kartesischen Produkt Ι M x N Ι =  Ι M Ι *  Ι N Ι mit M, N endliche Mengen folgern, dass Ι S(M) Ι =  Ι S(M ohne {a}) Ι *  Ι M Ι ist, wieder mit M endliche Menge und S(M) bezeichne die symmetrische Gruppe.

Problem/Ansatz:

Da hatte ich die Idee, dass S(M ohne {a}) ja alle Permutationen bei einem Element weniger sind. Und all diese Permutationen α ∈ S(M ohne {a}) verknüpft mit der Menge N = {(a₁ a₂ ... a_n)^k Ι k ∈ ℕ} mit β ∈ N wobei n = Ι M Ι = Ι N Ι ist. Dann wäre α ° β ja sowas ähnliches wie das kartesische Produkt, nur diesmal nicht alle möglichen Kombination in Form eines Paares/Tupels sondern alle möglichen Kompositionen zwischen den Elementen von S(M ohne {a}) und N. Aber ich glaube die Menge N ist etwas zu sehr an den Haaren herbeigezogen und nicht das, was eigentlich erwartet wird. Hat jemand von euch eine Idee?

Answer 1

Hallo,

sei also M eine Menge, a Element von M und M' die Menge M ohne a.

Es soll wohl gezeigt werden, dass es eine Bijektion zwischen S(M) und \(S(M') \times M\) gibt mit der Konsequenz, dass \(|S(M)|=|S(M')| \cdot |M|\) ist.

1. \(S(M) \to S(M') \times M\): \(f \mapsto (g,i:=f^{-1}(a))\), wobei

$$\text{FALLS } i \neq a: \quad g \in S(M') \text{  mit } g(m):=f(m) \forall m \in M' \text{  außer } g(i):=f(a)$$

$$\text{FALLS } i = a: \quad g \in S(M') \text{  mit } g(m):=f(m) \forall m \in M' $$

2 \(S(M') \times M \to S(M)\): \((g,i) \mapsto f\) , wobei

$$\text{FALLS }i \neq a: \quad f(m):=g(m) \forall m \in M' \text{ außer } f(i):=a \text{ und }f(a):=g(i)$$

$$\text{FALLS }i=a: \quad f(m):=g(m) \forall m \in M' \text{ und } f(a):=a$$

Gruß Mathhilf

Comments

Danke erstmal für die Antwort.

Tatsächlich musste man eine Teilaufgabe vorher schon beweisen, dass zwei Abbildungen der Form wie du sie auch aufgestellt hast, bijektiv sind und jeweils die Umkehrabbildung von einander sind. Hätte ich vielleicht erwähnen sollen. Aber dank deiner Antwort glaube ich jetzt verstanden zu haben, was gemeint ist:

Man soll die oben genannte Gleichung ja aus dem kartesischen Produkt Ι M x N Ι =  Ι M Ι *  Ι N Ι (M, N endliche Mengen) folgern.

Da es eine bijektive Abbildung von S(M) -> S(M') x M (und umgekehrt) gibt, muss Ι S(M) Ι = Ι S(M') x M Ι sein, wobei Ι S(M') x M Ι ja das kartesische Produkt beschreibt, wovon wir allgemein wissen: Ι M x N Ι =  Ι M Ι *  Ι N Ι.

Setzen wir nun ein: Ι S(M') x M Ι = Ι S(M') Ι *  Ι M Ι.

Setzt man dies wiederum in die erste Gleichung ein, so folgt Ι S(M) Ι =  Ι S(M') Ι *  Ι M Ι, was zu zeigen war.