Wie lässt sich zeigen, dass die Kleinsche Gruppe eine Untergruppe von S4 ist?

Question

Aufgabe:

Wie lässt sich zeigen, dass die Kleinsche Gruppe eine Untergruppe von S4 ist?

Problem/Ansatz:

Untergruppenkriterium

Answer 1

Die Kleinsche Vierergruppe ist

\(V_4=\{id,\; (1\;2)(3\;4),\; (1\; 3)(2\;4),\;(1\;4)(2\;3)\}\subseteq S_4\).

Wegen \(id\in V_4\) ist \(V_4\neq \emptyset\).

Nun musst du nur noch zeigen, dass \(\sigma,\tau\in V_4\Rightarrow \sigma\circ \tau^{-1}\in V_4\) gilt.

Dabei ist nützlich: \(\sigma \in V\Rightarrow \sigma^2=id\).

Comments

Wie lässt sich eine Permutation umkehren?

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Für einen k-Zykel gilt \((i_1\;i_2\;\cdots i_k)^{-1}=(i_k\;\cdots\; i_2\; i_1)\).

Ziffernfremde Zykel sind vertauschbar.

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Kann man dies für beliebige zwei Zykel zeigen also:

(12)(34) • (31)(42) = (14)(23)

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Da \(\sigma^2=id\) ist für alle \(\sigma \in V_4\) ist,

gilt \(\sigma^{-1}=\sigma\) für alle \(\sigma \in V_4\).

Du musst also nur zeigen, dass \(\sigma,\tau\in V_4\Rightarrow \sigma\tau \in V_4\)

gilt. Da \(V_4\() offenbar kommutativ ist, kannst

du die wenigen Elemente von \(V_4\) mit einander multiplizieren,

um zu testen, ab die Produkte wieder in \(V_4\)  liegen.

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D.h. also immer je zwei multiplizieren und schauen ob das Produkt wieder drin liegt für alle möglichen Paare?

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Ja. Das sind 3 Produkte. Das sollte zu schaffen sein ;-)

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Wie lässt sich nun noch zeigen, dass V4 Normalteiler von S4 ist?

Kann man hier wieder die kommutative Eigenschaft nutzen und wieder alles miteinander multiplizieren?(was ist x, was ist k?)

Es gilt für alle x ∈ G und k ∈ K gilt:

x k x^(-1) ∈ K