LR-Zerlegung Matrix bestimmen

Question

LR-Zerlegung.

Gegeben ist die folgende Matrix und rechte Seite
$$A=\left(\begin{array}{ccc} 4 & 6 & -2 \\ 2 & 3 & 8 \\ -6 & -1 & 5 \end{array}\right), \quad b=\left(\begin{array}{c} -10 \\ 4 \\ 17 \end{array}\right)$$
a) Beweisen Sie über die Determinante, dass lineare Gleichungssysteme $A x=b$ mit obiger Matrix aber beliebiger rechter Seite $b$ stets eindeutig lösbar sind.

b) Zeigen Sie nun, dass sich die Zerlegung $A=L R(L:$ normierte untere Dreiecksmatrix, $R$ : obere Dreiecksmatrix) ohne Pivotsuche zu obiger Matrix nicht durchführen lässt.

c) Führen Sie die Zerlegung $P A=L R(P:$ Permutationsmatrix $)$ mit Spaltenpivotisierung (Zeilenvertauschungen) durch. Geben Sie die Matrizen $P, L, R$ explizit an. Lösen Sie damit das lineare Gleichungssytem $A x=b$ zu obiger rechten Seite mit Vorwärts- und Rückwärtssubstitution. Die Teilschritte der Berechnungen sind anzugeben!

d) Bestimmen Sie die Zerlegung $P A Q=L R(P, Q:$ Permutationsmatrizen) mit totaler Pivotisierung (Zeilen- und Spaltenvertauschungen). Auch hier sind die Matrizen $P, Q, L, R$ explizit anzugeben. Lösen Sie erneut das lineare Gleichungssystem $A x=b$ mit dieser Zerlegung. Die Teilschritte der Berechnungen sind anzugeben!

könnte mir jemand bitte dabei helfen?

a) habe ich schon gemacht (durch Cramer-Verfahren richtig oder?).

:)

Answer 1

Zur LR Zerlegung.

Das ist eine Menge schreibarbeit....

siehe https://www.geogebra.org/m/vbrw8pe2

zur LR Zerlegung mit und ohne Pivotsuche

Nach dem 1. Schritt steht eine Null auf der Diagonalen

$\small A1 \, := \, \left(\begin{array}{rrr}4&6&-2\\0&0&9\\0&8&0\\\end{array}\right)$

Mit Spaltenpivotsuche Pi und Gaußschritt Li

R:=L2 P2 L1 P1 A => $\small R \, := \, \left(\begin{array}{rrr}-6&-1&5\\0&\frac{16}{3}&\frac{4}{3}\\0&0&9\\\end{array}\right)$

L:=(L2 P2 L1 P2)⁻^1 => $\small L \, := \, \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{-2}{3}&1&0\\\frac{-1}{3}&\frac{1}{2}&1\\\end{array}\right)$

A x = b ===> L R = P A ===> P A x = P b ===> L R x = P b
LR Zerlegung mit Spaltenpivot R3 (siehe obigen Link)

$\small L \; R \; \left(\begin{array}{r}x1\\x2\\x3\\\end{array}\right) = P \; b$

Comments

Danke erstmal für deine Antwort

wie hast du A1 berechnet ?

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$\scriptsize A1:= \left(\begin{array}{rrr}-6&-1&5\\2&3&8\\4&6&-2\\\end{array}\right)= \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}4&6&-2\\2&3&8\\-6&-1&5\\\end{array}\right)$

$\scriptsize A2:= \left(\begin{array}{rrr}-6&-1&5\\0&\frac{8}{3}&\frac{29}{3}\\0&\frac{16}{3}&\frac{4}{3}\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\\frac{1}{3}&1&0\\\frac{2}{3}&0&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\\\end{array}\right) \cdot A = L1 \; P1\; A$

$\scriptsize R:= \left(\begin{array}{rrr}-6&-1&5\\0&\frac{16}{3}&\frac{4}{3}\\0&0&9\\\end{array}\right) =\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&\frac{-1}{2}&1\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\\\end{array}\right) \cdot A2 =L2 \;P2\; L1 \;P1\; A$

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wie kommst du auf A2 ?  

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Das hab ich aufgeschrieben..

Was ist daran unklar?

Zeilentauschmatrix P1

Gaußschrittmatrix L1 (1.spalte nullen)

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ist das LR-Zerlegung mit Pivotsuche ? ich glaube zu b) brauche ich ohne Pivotsuche oder habe ich falsche verstanden?

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Nun,

ich dachte die b) ist durch. Wenn Du die erste Zeile/2 von der 2. abziehst, dann kommt die 2. Zeile  auf (0,0,9) eine 0 in die Diagonale und DU kannst ohne Zeilentausch nicht weiter rechnen - die erste A1 Matrix.

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folgert also daraus dass die Zerlegung A = LR ohne Pivotsuche nicht
durchfuhren lässt ?

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reicht das für b) ?

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Das ist meine Lösung zu d)

Ich habe irgendwo ein Fehler weil  in meiner Lösung PAQ nicht gleich LR ist. Könntest du mir bitte sagen wo mein Fehler liegt?

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sorry, hab Deine Antwort übersehen, ja passt.

Deine notation ist suboptimal. du solltest, wie ich es oben getan hab, zum verständnis alle schritte als matrix formulieren. wenn der weg dann klar ist, kannst du diese komprimierte schreibweise anwenden.

1. pivotschritt P1 zeilentausch , Q1 spaltentausch, L1 Gaußschritt (hast du richtig)

L1 P1 A Q1

2. pivotschritt

R=L2 P2 (L1 P1 A Q1) Q2

R=L2 P2 L1 (P2 P2) P1 A Q1 Q2

R=(L2 P2 L1 P2) (P2 P1) A (Q1 Q2)

R=L’ P A Q

L’^-1 R = P A Q

L=(L2 P2 L1 P2)^-1

kann mit dem ipad nicht ins detail rechnen. der obige link kann es..

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Danke :)

wie kann ich das lineare Gleichungssystem Ax = b mit dieser Zerlegung lösen?

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Ziel: L*R = P*A*Q

Erreicht: R=L₂*P₂*L₁*P₁*A*Q₁*Q₂

$R = L_{2} \cdot P_{2} \cdot L_{1}\textcolor{red}{ \cdot P_{2} \quad P_{2} }\cdot P_{1} \cdot A \cdot Q_{1} \cdot Q_{2}$

L'=L₂*P₂*L₁*P₂

P=P₂*P₁

Q=Q₁*Q₂

R = L'*P*A*Q

L'^-1*R = P*A*Q

L=(L₂*P₂*L₁*P₂)^-1

L=P₂ L₁^-1 P₂ L₂^-1 , Inverse L(Vorzeichenänderung unterhalb Diagonale

$\small A \cdot X=b, \quad A \cdot Q \cdot Q^{T} \cdot X=b,\\ P \cdot A \cdot Q \cdot Q^{T} \cdot X=P \cdot b, \\ L \cdot R \cdot Q^{T} X=P \cdot b$

L Y = P b

$\small \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ \frac{5}{8} & 1 & 0 \\ -\frac{1}{4} & -\frac{18}{29} & 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-10 \\ 4 \\ 17\end{array}\right]$

R (Q^T X) = Y

 $\small \left[\begin{array}{ccc}8 & 2 & 3 \\ 0 & -\frac{29}{4} & -\frac{23}{8} \\ 0 & 0 & \frac{144}{29}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_3 \\ x_1 \\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4 \\ \frac{29}{2} \\ 0\end{array}\right]$

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wieso haben wir hier nicht -1 geschrieben wi hier :

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Weil die App für R⁴ ausgelegt ist und mit der 4. Zeile rechnet, die net da ist.

Mach L3 zur Einheitsmatrix

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richtig oder?

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yep, sieht gut aus :-).

Jetzt kannst überlegen, wie man das auf einer Matrix rechnet. Beim Tauschen des L-Ausschnitts mußt DU aber ganz sauber Buch führen....

Ich hab Deine Aufgabe in dem Arbeitsblatt verlinkt angehängt...

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Ich verstehe jetzt nicht was du meinst..

Ich dachte ich habe die Aufgabe schon gelöst weil ich die Werte von x bekommen habe..

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Die Aufgabe ist richtig gelöst. Habe fertig.

Ich beziehe mich auf Deinen ersten Versuch alles (L und R) auf einem Matrixfeld zu rechnen. Wenn das nicht sein muß, dann würd ich in der Pivotversion die Finger davon lassen.....

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Danke für deine Hilfe! :)

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https://www.mathelounge.de/841321/residuum-und-losungsgute

Könntest du mir bitte dabei helfen?