Zeige oder widerlege die Konvergenz dieser Folge

Question 1

Aufgabe:

Die Folge (c_n)_n∈ℕ sei für alle x ≥ 0 definiert. Zeigt oder widerlegt die Konvergenz dieser Folge

c_n = $ \sqrt{n^2+x} $ -n

Wie mache ich das? ^^ :)

Question 2

Erweitere mit $\sqrt{...}+n$

Gruß Mathhilf

Question 3

Aloha :)

Hier reicht es, wenn du $c_n$ ein wenig umformst. Erweitere den Bruch so, dass du im Zähler die 3-te binomsiche Formel anwenden kannst:$$c_n=\sqrt{n^2+x}-n=\frac{(\sqrt{n^2+x}-n)(\sqrt{n^2+x}+n)}{\sqrt{n^2+x}+n}=\frac{(n^2+x)-n^2}{\sqrt{n^2+x}+n}$$$$\phantom{c_n}=\frac{x}{\sqrt{n^2+x}+n}\stackrel{(x\ge0)}\le\frac{x}{\sqrt{n^2+0}+n}=\frac{x}{2n}\to0$$Also konvergiert $(c_n)$ für alle $x\ge0$ gegen $0$.

Question 4

Du rettest mich jedes mal aufs Neue :)

Danke Dir =)

Question 5

Hmmm - Cauchy-Kriterium anwenden, würde ich sagen.

Question 6

Das würde ich gerne mal sehen

Gruß Mathhilf

Tschakabumba · Answer 1 · 2021-05-02T16:18:30+0000

Aloha :)

Hier reicht es, wenn du $c_n$ ein wenig umformst. Erweitere den Bruch so, dass du im Zähler die 3-te binomsiche Formel anwenden kannst:$$c_n=\sqrt{n^2+x}-n=\frac{(\sqrt{n^2+x}-n)(\sqrt{n^2+x}+n)}{\sqrt{n^2+x}+n}=\frac{(n^2+x)-n^2}{\sqrt{n^2+x}+n}$$$$\phantom{c_n}=\frac{x}{\sqrt{n^2+x}+n}\stackrel{(x\ge0)}\le\frac{x}{\sqrt{n^2+0}+n}=\frac{x}{2n}\to0$$Also konvergiert $(c_n)$ für alle $x\ge0$ gegen $0$.

Zeige oder widerlege die Konvergenz dieser Folge

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