Aloha :)
Schritt 1: Darstellung von \(\ln(1-x)\) als Potenzreihe
Wir gehen von der Summenformel für die geometrische Reihe aus:$$\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}\quad\text{für}\quad|x|<1$$Solange wir uns innerhalb des Konvergenzradius \(|x|<1\) der Potenzreihe aufhalten, können wir beide Seiten integrieren, wobei links jeder Summand einzeln integriert wird:$$\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{x^{n+1}}{n+1}=-\ln(1-x)\quad\text{für}\quad|x|<1$$Wir führen noch eine Indexverschiebung durch und erhalten:$$\ln(1-x)=-\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}\quad\text{für}\quad|x|<1$$
Schritt 2: Quadrieren der Potenzreihe mit dem Cauchy-Produkt
Wenn du nicht genau weißt, was das Cauchy-Produkt ist, schau dir bitte meine Antwort dazu an:
https://www.mathelounge.de/831421/summenwert-eines-cauchy-produkts
Mit dem Cauchy-Produkt können wir zwei unendlich lange Potenzreihen multiplizieren:
$$\ln^2(1-x)=\sum\limits_{i=1}^\infty\frac{x^i}{i}\cdot\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{x^k}{k}=\sum\limits_{n=2}^\infty\sum\limits_{k+i=n}\frac{x^i}{i}\cdot\frac{x^k}{k}=\sum\limits_{n=2}^\infty\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{x^{n-k}}{(n-k)}\cdot\frac{x^k}{k}$$$$\phantom{\ln^2(1-x)}=\sum\limits_{n=2}^\infty\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{x^n}{k(n-k)}=\sum\limits_{n=2}^\infty x^n\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k(n-k)}=\sum\limits_{n=2}^\infty x^n\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{k}+\frac{1}{n-k}\right)$$$$\phantom{\ln^2(1-x)}=\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{x^n}{n}\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{n-k}\right)=\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{x^n}{n}\left(\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\right)$$$$\phantom{\ln^2(1-x)}=\sum\limits_{n=2}^\infty \frac{x^n}{n}2\sum\limits_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}=2\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{x^{n+1}}{n+1}\sum\limits_{k=1}^{(n+1)-1}\frac{1}{k}=2\sum\limits_{n=1}^\infty \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{x^{n+1}}{(n+1)k}$$
