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Aufgabe:

die Funktion f(x)= (1/3)x^3 -2x^2+3x ist gegeben

Unter welchem Winkel schneidet die Wendetangente die x-Achse?


Problem/Ansatz:

Man muss ja zuerst herausfinden, wo sich die Wendetangente überhaupt mit der x-Achse schneidet.

Und der Wendepunkt findet man ja heraus, indem man die 2. Ableitung mit 0 gleichsetzt (es gibt als Lösung die Zahl 2)

Und danach?

von

3 Antworten

+1 Daumen

Hallo,

wo die Tangente die x-Achse schneidet, spielt für die Berechnung des Winkels keine Rolle.

für den Steigungswinkel gilt f'(x) = m = tan(α)

Kommst du damit weiter?

Gruß, Silvia

von 22 k
+1 Daumen

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

1) f(x)=1/3*x³-2*x²+3*x

2) f´(x)=m=x²-4*x+3

3) f´´(x)=0=2*x-4*x → xw=xo=2

xo ist die Stelle,wo die Tangente an der Funktion f(x)=.. liegen soll

f(xo)=f(2)=1/3*2³-2*2²+3*2=2/3

f´(xo)=f´(2)=2²-4*2+3=-1

eingesetzt

yt=ft(x)=-1*(x-2)+2/3=-1*x+2+2/3

yt=ft(x)=-1*x+8/3

tan(a)=Gk/Ak=m → (a)=arctan(-1)=-45°

~plot~1/3*x^3-2*x^2+3*x;-1*x+8/3;[[-10|10|-10|10]];x=2~plot~

von 5,2 k

Hallo fjf100,

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

wird ja hier nicht wiklich benötigt.

1) f(x)=1/3*x³-2*x²+3*x

2) f´(x)=m=x²-4*x+3


ist bis hier okay.

3) f´´(x)=0=2*x-4*x → xw=xo=2

enthält eine Tippfehler, denn richtig wäre

3) f´´(x)=0=2*x-4.

Und dass "zweite Ableitung gleich 0" für Wendestellen nicht hinreichend ist, hat sich wohl noch nicht herumgesprochen.


Übrigens ist dein Ergebnis "MINUS 45°" das Ergebnis einer sehr formalen Rechnung,

Siehst du die Chance, den Schnittwinkel einfach mit "45°" anzugeben?

Bedingung f´´´(x)≠0  habe ich weggelassen.

Ich vermute mal,dass der Fragestellen eine komplette Kurvendiskussion selber durchführen kann.

Offensichtlich kennt der Fragesteller diese Formeln nicht

Tangentengleichung yt=ft(x)=f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

Normalengeleichung yn=fn(x)=-1/f´(xo)*(x-xo)+f(xo)

Dass du jetzt auch noch die absolut nicht benötigte Formel der Normalengleichung zitiert, beschreibt nur dein übliches Problem. Nur weil das auf einem deiner uralt-siebziger-Jahre-Ausdrucke steht, ist es noch lange nicht von Bedeutung.

Es gibt übrigens auch Wendestellen mit f'''(x)=0.

Das sind aber Ausnahmen.

Der Wendepunkt trennt 2 Kurvenbögen konvex und konkav voneinander

siehe Mathe-Formelbuch,Differentialgeometrie,Krümmung

k=y´´/[(1+(y´)²]^(3/2)

kann man ja auch noch überprüfen

siehe Mathe-Formelbuch

Davon gibt es viele. Welches meinst du jetzt?

Das, was man privat in jeder Buchhandlung kaufen kann?

In der normalen Schule braucht man auch nur normale Formeln.

Spezialwissen habe ich als Maschinenbauingenieur von einer Fachhochschule noch nie gebraucht.

Du kannst ja den Fragestellern alles mathematisch korrekt erklären und die Beiträge vervollständigen.

Das ist ja gut,weil dann mehr Infos rüberkommen.

+1 Daumen

f(x)= (1/3)x^3 -2x^2+3x

f'(x)=x^2-4x+3

f‘'(x)=2x-4

Wendepunkt:

f''(x)=0 → x=2

Steigung der Wendetangente:

m=f'(2)=2^2-4*2+3=-1

m=tanα=-1

α=135° bzw. α=-45°

:-)

von 24 k

Grinse nicht so. Die Qualität der Antwort des "dass kann man in jeder Buchhandlung kaufen"-Typs war auch nicht wesentlich schlechter.

Komm auf den Punkt!

Den Smiley setze ich (fast) immer dazu.

Mit "auf den Punkt kommen" meinst du vermutlich, dass ich mich für einen Winkel entscheiden soll.

Ich denke aber, dass der gesuchte Wert womöglich vom Unterrichtenden abhängt.

Ob nun 135° oder -45° oder 45° als richtiger Wert angesehen wird, möge der Fragesteller selbst herausfinden.

:-)

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