Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der Fläche unter dem Graphen der Funktion f:[-2,2] \rightarrow …

Question

Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der Fläche unter dem Graphen der Funktion $f:[-2,2] \rightarrow \mathbb{R}$ mit
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{1-x} & \text { für }-2 \leq x \leq 0 \\ \frac{1}{1+x} & \text { für } 0<x \leq 2 \end{array}\right.$

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes der Fläche unter dem Graphen

Stichworte: schwerpunkt

 المنطقة الواقعة أسفل الرسم البياني
للدالة 

f (x) =  1/1-x في    [-2 ، 0 ] و   f (x) = 1/1 + x on] 0  ، 2 ].

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Leider völlig unlesbar

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Vom Duplikat:

Titel: Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes :

Stichworte: schwerpunkt

Berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunktes :

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Das ist völlig unleserlich.

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Google-Übersetzer macht daraus

Der Bereich am unteren Rand des Diagramms
Von der Funktion

f (x) = 1/1-x in [-2, 0] und f (x) = 1/1 + x an] 0, 2).

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.. macht daraus

f (x) = 1/1-x in [-2, 0] und f (x) = 1/1 + x an] 0, 2).

und gemeint ist wahrscheinlich

f(x) = 1/(1-x) in [-2,0] und f(x) = 1/(1+x) in ]0,2]

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https://www.mathelounge.de/841107/berechnen-koordinaten-schwerpunkte…

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https://www.mathelounge.de/841107/berechnen-koordinaten-schwerpunkte…

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Fläche liegt vollständig oberhalb der $x$-Achse:

Plotlux öffnen

f₁(x) = 1/(1-x)·(x>=-2)·(x<=0)f₂(x) = 1/(1+x)·(x>0)·(x<=2)P(0|1/ln(27))Zoom: x(-3…3) y(-0,2…1,2)

Bei festgehaltenem $x$ laufen die $y$-Werte also von $0$ bis $f(x)$. Das führt zu folgender Berechnungsformel für den Schwerpunkt $S(x_s;y_s)$:$$\binom{x_s}{y_s}=\frac{1}{A}\left(\;\;\int\limits_{x=-2}^0\int\limits_{y=0}^{f(x)}\binom{x}{y}dx\,dy+\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^{f(x)}\binom{x}{y}dx\,dy\right)$$

Wir bestimmen zuerst die Gesamtfläche $A$ der Punktmenge:$$A=\int\limits_{-2}^0\frac{1}{1-x}dx+\int\limits_{0}^2\frac{1}{1+x}dx=\left[-\ln|1-x|\right]_{-2}^0+\left[\ln|1+x|\right]_0^2$$$$\phantom{A}=-\ln|1|+\ln|3|+\ln|3|-\ln|1|=2\ln(3)=\ln(9)$$

Aus Symmetriegründen erwarten wir den Schwerpunkt auf der $y$-Achse, d.h. $x_s=0$. Wir prüfen das aber noch kurz rechnerisch nach, indem wir zuerst die $x_s$-Koordinate bestimmen:

$$x_s=\frac{1}{A}\left(\;\;\int\limits_{x=-2}^0\int\limits_{y=0}^{f(x)}x\,dx\,dy+\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^{f(x)}x\,dx\,dy\right)=\frac{1}{\ln(9)}\left(\;\int\limits_{-2}^0x\,f(x)\,dx+\int\limits_{0}^2x\,f(x)\,dx\right)$$$$\phantom{x_s}=\frac{1}{\ln(9)}\left(\;\int\limits_{-2}^0\frac{x}{1-x}\,dx+\int\limits_{0}^2\frac{x}{1+x}\,dx\right)=\frac{1}{\ln(9)}\left(\;\int\limits_{2}^0\frac{(-x)}{1-(-x)}\,d(-x)+\int\limits_{0}^2\frac{x}{1+x}\,dx\right)$$$$\phantom{x_s}=\frac{1}{\ln(9)}\left(\;\int\limits_{2}^0\frac{x}{1+x}\,dx+\int\limits_{0}^2\frac{x}{1+x}\,dx\right)=\frac{1}{\ln(9)}\left(-\int\limits_{0}^2\frac{x}{1+x}\,dx+\int\limits_{0}^2\frac{x}{1+x}\,dx\right)=0$$

Nun kommt der interessante Teil, die Berechnung der $y$-Koordinate des Schwerpunktes:

$$y_s=\frac{1}{A}\left(\;\;\int\limits_{x=-2}^0\int\limits_{y=0}^{f(x)}y\,dx\,dy+\int\limits_{x=0}^2\int\limits_{y=0}^{f(x)}y\,dx\,dy\right)=\frac{1}{\ln(9)}\left(\;\;\int\limits_{x=-2}^0\left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{f(x)}\!\!\!\!dx+\int\limits_{x=0}^2\left[\frac{y^2}{2}\right]_{0}^{f(x)}\!\!\!\!dx\right)$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{\ln(9)}\left(\frac{1}{2}\int\limits_{x=-2}^0[\,f(x)\,]^2dx+\frac{1}{2}\int\limits_{x=0}^2[\,f(x)\,]^2dx\right)$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{2\ln(9)}\left(\;\;\int\limits_{x=-2}^0\left(\frac{1}{1-x}\right)^2dx+\int\limits_{x=0}^2\left(\frac{1}{1+x}\right)^2dx\right)$$$$\phantom{y_s}=\frac{1}{2\ln(9)}\left(\left[\frac{1}{1-x}\right]_{-2}^0+\left[\frac{-1}{1+x}\right]_{0}^2\right)=\frac{1}{2\ln(9)}\left(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+1\right)=\frac{2}{3\ln(9)}$$$$\phantom{y_s}=\frac{2}{3\ln(3^2)}=\frac{2}{3\cdot2\ln(3)}=\frac{1}{3\ln(3)}$$

Der Schwerpunkt liegt also bei $S\left(0\,\big|\,\frac{1}{3\ln(3)}\right)$.

Answer 2

Hallo

$$S_x=\frac{1}{A}\int \limits_{-2}^{2}xdx; Sy=\frac{1}{A}\int \limits_{-2}^{2}y*f(x)dy$$ .$$\text{ natürlich die Integrale über die Funktionsteile einzeln, A=Gesamtfläche unter der Kurve }$$

Wegen der Symmetrie zu x=0 ist S_x=0 ohne Rechnung.

Gruß lul