a3) Wäre das Ziel von insgesamt 2000 Mitarbeitern (jemals) erreichbar?

Question

Aufgabe:

Ein Betrieb mit 500 Mitarbeitern möchte wachsen. Mit einer neuen Perso- nalpolitik werden zu Beginn jeden Jahres 100 neue Mitarbeiter eingestellt. Gleichzeitig verlassen zum Jahresende jeweils 5% aller Mitarbeiter den Be- trieb.

a3) Wäre das Ziel von insgesamt 2000 Mitarbeitern (jemals) erreichbar?

Problem/Ansatz:

500*0,95ⁿ + \( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{} \)(100*0,95ⁿ)

Der erste Summand wäre sowieso irgendwann null. Und dann laut Formel \( \frac{1}{1-q} \)

\( \frac{100}{1-0,95} \) Das wären genau 2000.

Aber die Lösung ist 1900. Wo liegt mein Fehler?

Answer 1

Aloha :)

Dein Ansatz stimmt, allerdings hast du bei der Anwendung der geometrischen Reihe übersehen, dass ihr Summationsindex bei \(0\) beginnt. Hier jedoch beginnt der Summationsindex bei \(1\). Nach \(n\) Jahren gilt für die Mitarbeiteranzahl:

$$M(n)=500\cdot0,95^n+100\sum\limits_{k=1}^n0,95^k=500\cdot0,95^n+100\sum\limits_{k=0}^{n-1}0,95^{k+1}$$$$\phantom{M(n)}=500\cdot0,95^n+100\cdot0,95\sum\limits_{k=0}^{n-1}0,95^{k}=500\cdot0,95^n+95\cdot\frac{1-0,95^n}{1-0,95}$$Nach unendlich vielen Jahren beträgt die Mitarbeiter-Anzahl also:$$M(\infty)=\frac{95}{1-0,95}=95\cdot20=1900$$

Comments

Hallo :)

Ich verstehe den Teil wo die 0,95 vor der hundert stehen nicht. Und die Verschiebungen zwischen n-1 und k+1 eins auch nicht.

Könnten du vielleicht etwas näher erklären was dort passiert?

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In der Summe:$$100\sum\limits_{k=1}^n0,95^k$$

lassen wir den Summationsindex bei \(k=0\) beginnen. Dafür geht er dann nur bis \((n-1)\) und wir müssen das \(k\) bei den Summanden um \(1\) erhöhen:$$100\sum\limits_{k=0}^{n-1}0,95^{k+1}$$

Jetzt können wir den Faktor \(0,95\) vor die Summe ziehen:$$100\sum\limits_{k=0}^{n-1}0,95^{k}\cdot0,95=100\cdot0,95\cdot\sum\limits_{k=0}^{n-1}0,95^{k}$$

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Okay, vielen Dank!