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Aufgabe:

a) Gegeben ist das Viereck ABCD mit A(1|1|1), B(9|5|3), C(-3|-1|7) und D(3|7|5). Bestimmen Sie die Koordinaten der Seitenmiten Ma, Mb, Mc und Md. Zeigen Sie, dass das Viereck MaMbMcMd ein Parallelogramm ist.

b) Zeigen Sie, dass die Vektoren \( \vec{MaMb} \) und \( \vec{MdMc} \) bei jedem Viereck ABCD identisch sind. Stellen Sie dazu diese Vektoren zunächst mithilfe der Vektoren \( \vec{a} \), \( \vec{b} \), \( \vec{c} \) und \( \vec{d} \) aus obiger Abbildung dar und ersetzen Sie dann den Term, in dem die Vektoren \( \vec{c} \) und \( \vec{d} \) vorkommen, durch einen Term, in dem nur noch die Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) vorkommen.


blob.png

von

Was hast du dir bereits überlegt?

Bei der Aufgabe 9b) würde ich die Vektorgleichungen gleichsetzen

Kannst du bitte nochmal deine angegebenen Punkte kontrollieren?

1 Antwort

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Ma = 1/2·(A + B) = 1/2·([1, 1, 1] + [9, 5, 3]) = [5, 3, 2]

Kannst du Mb, Mc und Md jetzt alleine Bestimmen?

von 384 k 🚀

a) verstehe ich schon. b) nur nicht.

Müsste nicht bei a) außerdem so gerechnet werden:

\( \vec{a} \) = \( \vec{AB} \) = \( \begin{pmatrix} 9\\5\\3 \end{pmatrix} \)  - \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 8\\4\\2 \end{pmatrix} \) 

\( \vec{Ma} \) = 1/2 × \( \vec{a} \) 

=> Ma(4|2|1)

Ma = 1/2·(A + B)

Mb = 1/2·(B + C)

Mc = 1/2·(C + D)

Md = 1/2·(A + D)

MaMb = 1/2·(B + C) - 1/2·(A + B) = 1/2·(C - A)

MdMc = 1/2·(C + D) - 1/2·(A + D) = 1/2·(C - A)

Stimmen also überein.

Wie macht man aber die b)?

Das ist b.

Allerdings habe ich dir Ortsvektoren und nicht die Richtungsvektoren genommen, weil ich das persönlich schöner finde.

Allerdings könntest du am Ende auch ersetzen

C - A = AC = AB + BC = a + b

Dann hättest du es durch die Vektoren a und b dargestellt.

Ich habe b - a am Ende stehen.

Ohne deine Rechnung zu sehen kann ich das nicht nachvollziehen.

Zeichne dir das vielleicht auch mal in einem 3D-Koordinatensystem ein um ein besseres Verständnis zu bekommen. Oder lass zuerst mal die Z-Koordinate weg und zeichne das rein im 2D-Koordinatensystem. Alles sollte helfen dir das Verständnis zu verbessern.

Ich habe dann folgendermaßen a) und b) gelöst:

a) Ma (5|3|2); Mb (3|2|5); Mc (0|3|6); Md (2|4|3)

Nachweis eines Parallelogramms:

MaMb = \( \sqrt{(3-5)²+(2-3)²+(5-2)²} \) ≈ 3,74 L.E.

MdMc = \( \sqrt{(0-2)²+(3-4)²+(6-3)²} \) ≈ 3,74 L.E.

McMb = \( \sqrt{(3-0)²+(2-3)²+(5-6)²} \) ≈ 3,32 L.E.

MdMa = \( \sqrt{(5-2)²+(3-4)²+(2-3)²} \) ≈ 3,32 L.E.

b) C ⃗-A ⃗=(AC) ⃗=(AB) ⃗+(BC) ⃗=a ⃗+b ⃗

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