Zeigen Sie:Bernoulli , binomischen Lehrsatz , monoton wachsend,

Question

Text erkannt:

Für jede natürliche Zahl $n \geq 1$ seien $e_{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ und $E_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} \frac{1}{k !}$. Zeigen Sie:
(a) Die Folgen $\left(e_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}}$ ist monoton wachsend, d.h. es gilt $e_{n} \leq e_{n+1}$ für alle $n \in \mathbb{N}$. Hinweis: Wenden Sie die Bernoulli Ungleichung auf $\frac{e_{n+1}}{e_{n}}$ an.
(b) Für alle $n \in \mathbb{N}$ gilt $2 \leq e_{n} \leq E_{n}<3$.

Hallo, Kann jemand bitte die Lösung zeigen

Beste Grüße

Answer 1

Folge dem Tipp:

e_n+1 / e_n =   (1+1/(n+1) * ( ( (n+2)*n ) / ( n+1)² )ⁿ

              =   (1+1/(n+1) * ( 1 - 1/(n+1)² ) ⁿ  Bernoulli gibt

              ≥    (1+1/(n+1) * ( 1 - n/(n+1)² )

              = (n³ + 3n² + 3n + 2) / (n+1)³

              = 1 + 1/(n+1)³   > 1

Also e_n+1 / e_n > 1 ==>   e_n+1 > e_n