Die allgemeine Definition der Riemannschen Summe einer Funktion f auf dem Intervall [a, b] lautet:
S=k=1∑nf(ξk)(xk+1−xk)
wobei die ξk beliebige Zwischenwerte im Intervall [xk, xk+1] sind. Außerdem gilt x1 = a, xn+1 = b.
Man kann z.B. die Obersumme ausrechnen, also stets ξk = xn+1 wählen. Dann landet man am Ende ein Stück über dem tatsächlichen Wert des Integrals.
Bei der Einteilung liegt es natürlich nahe, das Intervall [0, 1] in sechs gleich große Teilintervalle der Länge 1/6 zu teilen.
⇒xk+1 - xk = 1/6 für alle k.
und ξk = k/6, also f(ξk) = ek²/36
Damit erhält man die Summe:
S=k=1∑nf(ξk)(xk+1−xk)=n=1∑ne36k2⋅61=61(e361+e364+e369+e3616+e3625+e3636)≈61⋅9.7102≈1.618
Das ist noch eine relativ große Abweichung.
Berechnet man die Untersumme erhält man S ≈ 1.165
Um den Wert zu verbessern muss man eben mehr Teilintervalle dazunehmen.