Reihenkonvergenz, warum so wie in der Musterlösung?

Question

Aufgabe:

Folgende Reihe soll auf Konvergenz/Divergenz untersucht werden:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{(\sqrt{n}-2)^2}{n^2+\sqrt{n^4+1}}} \)

Problem/Ansatz:

In der Musterlösung stand Folgendes: sei a_n der innere Ausdruck in der Summe. Dann konvergiert

na_n= \( \frac{n^2-4n\sqrt{n}+4n}{n^2+\sqrt{n^4+1}} \) gegen 1/2 für n→∞

Insbesondere können wir abschätzen, dass a_n ≥ \( \frac{1}{4n} \)  ist. Damit folgt nach dem Minorantenkriterium die Divergenz von der gegebenen Reihe (harmonische Reihe).

Meine Frage: wieso betrachtet man überhaupt na_n ? Ohne diese Betrachtung kommt man doch auch problemlos auf die Divergenz von a_n durch das Minorantenkr. ?

Answer 1

Aloha :)

Weit bekannt ist, dass eine notwendige Voraussetzung für die Konvergenz einer Reihe ist, dass \((a_n)\) eine Nullfolge ist. Nach dem Satz von Olivier, muss aber sogar \((n\cdot a_n)\) eine Nullfolge sein.

Da hier \(n\cdot a_n\to\frac{1}{2}\) konvergiert, divergiert die Reihe.

Comments

Der Satz von Olivier setzt allerdings voraus, dass die Folge nichtnegativ monoton fallend ist. Dafür wäre noch einige Mühe einzusetzen.

Gruß Mathhilf