Question

Welchen Radius hat jeweils der kleinste Kreis, wenn der größte Kreis den Radius 1 hat?

Answer 1

Hallo Roland,

wenn $e$ der Abstand der horizontalen Geraden vom Mittelpunkt des großen Kreises mit Radius $R=1$ ist, dann ist der Radius $r$ des kleinsten Kreises (s. Kommentar unten)$$r = \frac 14(1- e^2), \quad \text{allg.:} \space r = \frac R4\left( 1 - \left( \frac eR\right)^2\right)$$bei den drei Figuren ist der Radius $r$ des kleinsten Kreises von links nach rechts$$\begin{aligned} e&= 0 & r &= \frac 14 \\ e &= \frac 12 &r &= \frac 3{16} \\ e &= \frac 12\sqrt 2 &r &= \frac 18\end{aligned}$$

Comments

... dann ist der Radius $r$ des kleinsten Kreises$$r = \frac R4\left( 1 - \left( \frac eR\right)^2\right)$$

... das ist natürlich nicht ohne weiteres offensichtlich ;-) Dazu zwei Bilder, $R$ ist der Radius des großen blauen Kreises:

1.) alle Mittelpunkte der Kreise (rot), die sowohl den oberen Kreis (orange) als auch die horizontale Gerade (blau) berühren, liegen auf einer Parabel (lila), deren Brennpunkt $B$ ist und deren Leitlinie durch $B'$ verläuft. Der Abstand von $K$ zur Leitline $b$ (lila gestrichelt) muss genauso groß sein wie der Abstand von $K$ zu $B$. Mit $|BE|=|EB'|$.

Sei der horizontale Abstand von $K$ zur Senkrechten durch $M$ gleich $x$, so gilt hier$$2(R-e)r = x^2, \quad e =|EM|$$

2.) Die Mittelpunkte aller Kreise (rot), die sowohl den blauen Kreis als auch die Horizontale (blau) berühren liegen auf der grünen Parabel mit Brennpunkt $M$ und Leitlinie $m$ (grün gestrichelt) durch $M'$. Der Abstand von $K$ zu $m$ ist genauso groß wie der von $K$ zu $M$. Hier ist $|M'B|=|BM|$.

mit $|BE|=(R-e)/2$ gilt für diese Parabel$$2(R+e)\left(\frac{R-e}2-r\right) = x^2$$Gleichsetzen dieser Parabelgleichungen gibt dann$$\begin{aligned}2(R-e)r&=2(R+e)\left(\frac{R-e}2-r\right)\\2Rr - 2er&= R^2-e^2 -2Rr-2er&&|\,+2Rr+2er\\4Rr &= R^2-e^2&&|\,\div 4R\\ r&= \frac R4\left(1-\left(\frac eR\right)^2\right)\end{aligned}$$