Äquivalenz zeigen mit Gruppenoperationen/Stabilisator

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Hätte eine Frage zur b. Man muss ja die Äquivalenz der beiden Aussagen zeigen.
"=>": Stab (m) ist ja die Untergruppe von f und ist allgemein definiert als Stab(m) = {σ ∈ C I f (σ, m) = m} angewendet auf diese Operation. Dieses Stab(m) ist jetzt also gleich C. C ist wiederum C = <σ> = {σ^k I k ∈ ℕ}. Also sind jetzt diese beiden Mengen gleichgesetzt {σ ∈ C I f (σ, m) = m} = {σ^k I k ∈ ℕ}. D.h. also, dass alle n verschiedene σ ∈ C die Bedingung f (σ, m) = m für beliebiges m ∈ M erfüllen muss. m ist von der Form m = (g₁, ... , g_n), also ein n-Tupel von Gruppenelementen der Gruppe G. Jetzt weiß ich allerdings nicht wie ich weiter komme. Ist bis dahin schon ein fehler drin? und wie kann man jetzt weiter kommen?

Comments

Kleiner Nachtrag:

Mein größtes Problem liegt darin, die Menge M richtig zu verstehen. Vielleicht kann mir auch da jemand helfen. Mich verwirrt vor allem das (g, ...,g) = m, denn wie wird denn dann f ausgeführt wenn g kein x ∈ {1,...,n} dabei hat?

Answer 1

Mein größtes Problem liegt darin, die Menge M richtig zu verstehen.

Die Elemente von M sind Tupel der Länge n bestehend aus Elementen in G, deren Verknüpfung gleich das neutrale Element ist.

Beispiel 1: $G = ( \mathbb Q \backslash \{ 0 \}, \cdot, 1)$ und $n = 3$.

Dann ist $M = \{ (x,y,z) ~|~ x,y,z \in \mathbb Q \backslash \{ 0 \} \text{ und } x\cdot y\cdot z = 1 \}$

Übung für dich: Ist $(1,2,-1) \in M$? Wie sieht es mit $(5,-2,-\frac{1}{10})$ aus?

Beispiel 2: $G = (\mathbb Z, +, 0)$ und $n = 5$.

Wie sieht hier M konkret aus? Ist $(2,3,-6,7,-6) \in M$? Wie sieht es mit $(4,-2,42,-37,5)$ aus?

Verstanden?

Vielleicht kann mir auch da jemand helfen. Mich verwirrt vor allem das (g, ...,g) = m, denn wie wird denn dann f ausgeführt wenn g kein x ∈ {1,...,n} dabei hat?

Die Elemente aus M haben die Form $(g_1,...,g_n)$. Du betrachtest hier das spezielle Element $(g,...,g)$ für ein $g \in G$. Das heißt du kannst in der Funktion $g_1 = g,..., g_n = g$ setzen.

Stab (m) ist ja die Untergruppe von f und ist allgemein definiert als Stab(m) = {σ ∈ C I f (σ, m) = m} angewendet auf diese Operation.

f ist eine Abbildung. Was du hier mit Untergruppe meinst verstehe ich nicht. Korrekt ist aber

Stab(m) = {σ ∈ C I f (σ, m) = m}.

So ist der Stabilisator definiert. Das sind einfach alle Gruppenelemente in C die das m nicht verändern.

Dieses Stab(m) ist jetzt also gleich C. C ist wiederum C = <σ> = {σ^k I k ∈ ℕ}. Also sind jetzt diese beiden Mengen gleichgesetzt {σ ∈ C I f (σ, m) = m} = {σ^k I k ∈ ℕ}.

Das ist korrekt. Verwende zur besseren Unterscheidbarkeit aber besser andere Bezeichner in der ersten Menge

{τ ∈ C I f (τ, m) = m} = {σ^k I k ∈ ℕ}

Bevor du da nachher irgendwas durcheinander mixt.

D.h. also, dass alle n verschiedene σ ∈ C die Bedingung f (σ, m) = m für beliebiges m ∈ M erfüllen muss.

Nein. Das heißt das für das fest gewählte $m \in M$ alle Elemente aus C dieses Element nicht verändern.

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=> Sei m = (g_1,...,g_n) in M mit Stab(m) = C. Du musst jetzt zeigen, dass dann ein g in G existieren muss, s.d. m=(g,...,g). Also dass m ein Tupel ist, in dem jeder Eintrag gleich ist bzw. g_1 = ... = g_n = g.

Dafür kannst du wegen Stab(m) = C verwenden, dass für alle $\tau \in C$ gilt: $f(\tau, m) = m$.

Überlege dir mal wie $C$ für $n = 2,3,4$ aussieht. Und schreibe dir explizit einfach mal alle Bedingungen hin die du aus $f(\tau, m) = m$ so bekommst. Denk dran: Zwei Tupel sind gleich, wenn sie in jedem Eintrag übereinstimmen. Vergleiche also immer beide Seiten um Gleichheiten gewisser Einträge zu folgern.

<= Hier musst du zeigen, dass wenn m = (g,...,g) ein Tupel mit identischen Einträgen ist, dass dann der Stabilisator gleich C ist,

Die Inklusion $\operatorname{Stab}(m) \subseteq C$ ist per Definition klar. Du musst also nur noch die andere zeigen: $\operatorname{Stab}(m) \supseteq C$

Comments

Verstanden?

Ja, das mit der Menge ist mir jetzt klar.

f ist eine Abbildung. Was du hier mit Untergruppe meinst verstehe ich nicht.

Das sollte natürlich Untergruppe von C heißen, was Stab(m) im Allgemeinen ja ist. Hier sogar die komplette Gruppe C.

=> Sei m = (g_1,...,g_n) in M mit Stab(m) = C. Du musst jetzt zeigen, dass dann ein g in G existieren muss, s.d. m=(g,...,g). Also dass m ein Tupel ist, in dem jeder Eintrag gleich ist bzw. g_1 = ... = g_n = g.

Ja, wenn f angewendet ist mit allen τ ∈ C und m, dann folgt dass für n = 2 bspw. (g₂, g₁) = (g₁, g₂). Also g₂ = g₁. Und damit muss m = (g, g) sein. Wie man das allgemein aufschreibt, tue ich mich schwer, bzw. vor allem mit der Formulierung. Ich würde es so versuchen:

Man wende f auf alle τ ∈ C und m= (g₁, ..., g_n) an. Alle dieser erzeugten Tupel müssen gleich m sein. Damit folgt: (g₁, ..., g_n) = (g₂, ..., g_n, g₁) = ... = (g_n, g₁, ..., g_n-1). Damit alle Tupel gleich sind müssen alle Einträge gleich sein. Damit folgt aber: g₁=g₂=...g_n, was zu zeigen war. Wäre das so okay?

<= Hier musst du zeigen, dass wenn m = (g,...,g) ein Tupel mit identischen Einträgen ist, dass dann der Stabilisator gleich C ist,

Sei m= (g,...,g) ein n-Tupel mit g ∈ G und g*...*g = e. C = {σ^k I k ∈ ℕ}. Dann sei σ ∈ C beliebig. Dann folgt f(σ, m) = (g_σ,...g_σ) = (g,.., g). Also ist C ⊆ Stab (m). Also ist C = Stab(m).

Und natürlich vielen, vielen Dank für die Antwort, hat mir beim Verständnis sehr geholfen!

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen sie: f definiert eine Gruppenoperation von C auf M

Stichworte: algebra,gruppentheorie

Aufgabe:

Seien n ∈ℕ mit n > 0, σ = (12)(23)(34)...(n-1 n) ∈ S_n und G eine Gruppe. Wir definieren

C : = ⟨σ⟩, M = {(g1,...,gn) ∈ Gⁿ | g1 * ...*gn = e}

Und

f: C×M → M, (σ^k , (g1,...,gn)) ↦(gσ^k (1), ..., gσ^k (n)).

Zeigen sie:

a) f definiert eine Gruppenoperation von C auf M

b) Für m ∈ M gilt Stab(M) = C genau dann, wenn ein g ∈ G existiert mit m = (g,...,g).

Problem/Ansatz:

Für die a weiß ich zwar das man die beiden Bedingungen für Gruppenoperationen zeigen soll, jedoch weiß ich hier nicht wie das aussehen soll.

Bei der b fehlt mir leider jeglicher Ansatz.

für die Hilfe.

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Wäre das so okay?

Ich finde schon.

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Falls du noch mit der besten Antwort ausgezeichnet werden möchtest, müsstest du nochmal als Antwort und nicht als Kommentar etwas posten. Ansonsten kann ich es dir leider nicht geben. Aber auch so vielen Dank.