Zeigen sie, dass v zyklisch ist, wenn Minimalpolynom gleich charct. Polynom,

Question

Text erkannt:

Es seien $V$ ein endlich-dimensionaler $K$ -Vektorraum, $\phi \in \operatorname{End}(V)$ und $h_{\phi}=p_{1}^{e_{1}} \cdots p_{r}^{e_{r}}$ die Primpolynomzerlegung des charakteristischen Polynoms. Zeigen Sie:
(a) $V$ ist genau dann $\phi$ -zyklisch, wenn $h_{\phi}=g_{\phi}$ gilt.
Hinweis: Behandeln Sie für die Rückrichtung zunächst den einfacheren $\phi$ primären Fall $h_{\phi}=p_{1}^{e_{1}} .$ Betrachten Sie dann im allgemeinen Fall $y_{1}+\ldots+y_{r}$, wobei $\left\langle y_{i}\right\rangle_{\phi}=\operatorname{Kern}\left(p_{i}^{e_{i}}(\phi)(V)\right)$ ist.
(b) $V$ ist $\phi$ -irreduzibel $\Longleftrightarrow \operatorname{Grad}\left(g_{\phi}\right)=\operatorname{dim}(V)$ und $r=1$.