Dimension angeben durch Berechnung der Basis

Question

Hallo, ich bräuchte einmal Eure Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei $W = \left\{\begin{pmatrix} x\\y\\z \end {pmatrix} \in \mathbb{R^3} | x + y = z \right\} \subseteq \mathbb{R^3}$.

Berechne die Dimension von $W$ durch Angabe einer Basis.

Als mögliche Basis habe ich die Vektoren $w_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}$ und $w_2= \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}$ gewählt.

Dann im nächsten Schritt die lineare Unabhängigkeit der beiden Vektoren gezeigt (da Basisvektoren ja immer linear unabhängig sind). Heraus bekam ich damit:

$\lambda_1=\lambda_2=0$

Dann wollte ich zeigen, dass man aus $w_1$ und $w_2$ alle Vektoren aus $\mathbb{R}^3$ darstellen kann. So kam ich dann auf:

$x = \lambda_1$

$y = \lambda_2$

$z = \lambda_1 + \lambda_2$

Bis hierhin: Stimmt das so überhaupt?

Falls ja: Jetzt weiß ich nicht, wie ich auf die Dimension komme. Könnte mir da jemand weiterhelfen?

Die Dimension ist ja die Anzahl der Basisvektoren soweit ich weiß. Wäre es also getan wenn ich nun schreibe:

Die Dimension von $W$ beträgt 2 ??

Answer 1

Hallo

alles richtig bisher, denn wenn man 2 Basisvektoren hat, die den UR vollständig beschreiben, ist die Dimension =2

du hast es höchstens zu ausführlich gemacht, aber das schadet sicher nicht.

Gruß lul

Comments

Super :) Danke fürs drübergucken!

Answer 2

Hallo :-)

Dann wollte ich zeigen, dass man aus $w_1$ und $w_2$ alle Vektoren aus $\mathbb{R}^3$ darstellen kann.

Nein. Du meinst wohl, dass du mit $w_1$ und $w_2$ alle Vektoren aus $W$ darstellen kannst.

Hast du dann das lineare Gleichungssystem

$$\lambda_1\cdot \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix}+\lambda_2\cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$$

für alle $\begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}\in W$

gelöst?

Die lineare Unabhängigkeit sieht gut aus.

Answer 3

Aloha :)

Du kannst eigentlich eine Basis direkt hinschreiben:

$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\x+y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$

Du erkennst 2 linear unabhängige Basisvektoren, sodass die Dimension von $W$ gleich $2$ ist. Damit hast du auch direkt gezeigt, dass man jeden Vektor aus $W$ als Linearkombination der beiden Basis-Vektoren schreiben kann.