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Aufgabe:

Oberfläche Integral des hypervolischen Paraboloids soll bestimmt wird, welches durch

z=x²-y²        x²+y²<1



Problem/Ansatz:

Ich habe folgende Paramterisierung aufgestellt


(r*sin, r*cos, r²*(sin²-cos²))

Weiter vereinfacht

(r*Sin, r*cos, r²*(-cos(2x))


Ich stoße dann beim integrieren auf große Schwierigkeiten.

von

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Aloha :)

Als Parameterdarstellung für \(x\) und \(y\) würde ich die Standard-Form der Polarkoordinaten wählen, d.h. \(x\) mit dem Cosinus und \(y\) mit dem Sinus:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\x^2-y^2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\ r\sin\varphi\\r^2(\cos^2\varphi-\sin^2\varphi)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\\ r\sin\varphi\\r^2\cos(2\varphi)\end{pmatrix}$$wobei \(r\in[0;1]\) und \(\varphi\in[0;2\pi]\) liegen.

Mit Hilfe des totalen Differentials wird klar, wie sich \(\vec r\) in Abhängigkeit von \(r\) und \(\varphi\) ändert:$$d\vec r=\frac{\partial \vec r}{\partial r}\,dr+\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\,d\varphi$$Das von diesen beiden infinitesimalen Vektoren aufgespannte Flächenelement ist:

$$df=\left\|\left(\frac{\partial \vec r}{\partial r}\,dr\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\,d\varphi\right)\right\|=\left\|\frac{\partial \vec r}{\partial r}\times\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\right\|\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{df}=\left\|\begin{pmatrix}\cos\varphi\\\sin\varphi\\2r\cos(2\varphi)\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}-r\sin\varphi\\r\cos\varphi\\-2r^2\sin(2\varphi)\end{pmatrix}\right\|\,dr\,d\varphi$$$$\phantom{df}=\left\|\begin{pmatrix}-2r^2\sin(2\varphi)\sin\varphi-2r^2\cos(2\varphi)\cos\varphi\\-2r^2\cos(2\varphi)\sin\varphi+2r^2\sin(2\varphi)\cos\varphi\\r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi\end{pmatrix}\right\|\,dr\,d\varphi$$

Das sieht schlimm aus, allerdings helfen uns die Additionstheoreme hier gut weiter:$$\sin(2\varphi)\sin\varphi+\cos(2\varphi)\cos\varphi=\cos(2\varphi-\varphi)=\cos\varphi$$$$\sin(2\varphi)\cos\varphi-\cos(2\varphi)\sin\varphi=\sin(2\varphi-\varphi)=\sin\varphi$$sodass sich der Betrag des Vektors in völliges Wohlgefallen auflöst:$$df=\left\|\begin{pmatrix}-2r^2\cos\varphi\\2r^2\sin\varphi\\r\end{pmatrix}\right\|\,dr\,d\varphi=\sqrt{4r^4+r^2}\,dr\,d\varphi$$

Damit formulieren wir das gesuchte Oberflächenintegral:$$I=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\sqrt{4r^4+r^2}\,dr\,d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{r=0}^1\sqrt{4r^4+r^2}\,dr=2\pi\int\limits_0^1r\sqrt{4r^2+1}\,dr$$$$\phantom{I}=\pi\int\limits_0^1\sqrt{4r^2+1}\,2r\,dr=\pi\int\limits_0^1\sqrt{4r^2+1}\,d(r^2)=\pi\left[\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{4}\left(4r^2+1\right)^{3/2}\right]_0^1$$$$\phantom{I}=\frac{\pi}{6}\left(5^{3/2}-1\right)=\frac{\pi}{6}\left(5\sqrt5-1\right)\approx5,3304$$

von 74 k 🚀

Ich denke nicht, dass es sich lohnt vor der Ermittlung des Flächenelements schon in Polarkoordinanten zu wechseln. Der Betrag vom Vektorprodukt von \(||\varphi_x\times \varphi_y||\) lässt sich spielend einfach in kartesischen Koordinanten berechnen berechnen.

Die Fragestellung war, wie nach der Wahl der Parametrisierung das Integral berechnet werden kann.

Der Fragesteller hat die Parametrisierung selbst aufgestellt, sie war nicht vorgegeben. Ich halte es für hilfreicher, einen zielsuchenden Reisenden nicht auf dem Umweg zu begleiten.

Deswegen hast du ja auch die Möglichkeit, eine eigene Antwort zu schreiben, genutzt.

Ich bedanke mich bei beiden, ich habe es vollständig verstanden.


Ich hatte tatsächlich bei der Vereinfachung der Therme einen Fehler, weshalb das Integral so kompliziert geworden ist.

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Hallo,

du kannst viel leichter parametrisieren und später die Koordinanten wechseln:$$\varphi : B_1((0,0))\to \mathbb{R}^3, \, (x,y,z)\mapsto \begin{pmatrix} x\\y\\x^2-y^2 \end{pmatrix}$$ denn dann ist Flächenelement einfach \(\mathrm{d}\sigma =\sqrt{f_x^2+f_y^2+1}\, \mathrm{d}x \mathrm{d}y\) (hergeleitet über gramsche Determinante oder im dreidimensionalen Fall über Vektorprodukt) berechnest also:$$\iint \limits_{B_1(0,0)}\sqrt{4x^2+4y^2+1}\, \mathrm{d}x \mathrm{d}y$$Du kannst nun aber den Transformationssatz verwenden, um dann Polarkoordinanten zu verwenden. Ich überspringe jetzt die Formalia, die dafür zur prüfen sind:$$\int \limits_{0}^{2\pi}\int \limits_{0}^{1}\sqrt{4r^2+1}\cdot r\, \mathrm{d}r \mathrm{d}\varphi$$ Das Integral kannst du über die Substitution \(u=4r^2+1\) leicht lösen.

von 25 k

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