Integrale mit parameter?

Question

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand bitte bei Nr.2b und 3a,b helfen?

Leider komme ich nicht mehr weiter.

Mein Problem bei 2b ist, dass ich nicht weiß wie ich es integrieren soll und bei 3 weiß ich ledier nicht, wie man mit einem parameter rechnet.

!!

Text erkannt:

Aufgabe 2
Berechne folgende Integrale:
a) $\int \limits_{-2}^{2} 2 x^{3}-2 x d x$
b) $\int \limits_{4}^{9} \frac{4}{2 \sqrt{x}} d x$
Aufgabe 3
Bestimme den Parameter a:
a) $\int \limits_{b}^{6}-\frac{4}{x^{2}} d x=-3$
b) $\int \limits_{-2}^{a}-2 x+12 d x=39$

Comments

Du kannst 4/2 =2 vors Integral ziehen.

1/ √x = x^(-1/2) -> F(x) = x^(1/2)/(1/2) )= 2/√x

Answer 1

Aloha :)

2a) Das Integrationsintervall $[-2;2]$ ist symmetrisch zur $y$-Achse. Der Integrand $(2x^3-2x)$ ist eine ungerade Funktion, also punktsymmetrisch zum Ursprung. Daher erwarten wir das Integral null:$$I=\int\limits_{-2}^2(2x^3-2x)\,dx=\left[\frac{x^4}{2}-x^2\right]_{-2}^2=\left(\frac{16}{2}-4\right)-\left(\frac{16}{2}-4\right)=0$$

2b) Hier kannst du die Wurzel als Potenz schreiben:$$I=\int\limits_4^9\frac{4}{2\sqrt x}=\int\limits_4^92x^{-\frac{1}{2}}dx=\left[4x^{\frac{1}{2}}\right]_{4}^9=4(\sqrt9-\sqrt4)=4$$

3a) Hier kann man keinen Parameter $a$ bestimmen, weil keiner vorkommt. Stattdessen können wir aber den Parameter $b$ bestimmen:

$$-3\stackrel!=\int\limits_b^6-\frac{4}{x^2}\,dx=\int\limits_b^6-4x^{-2}\,dx=\left[4x^{-1}\right]_b^6=\left[\frac{4}{x}\right]_b^6=\frac{2}{3}-\frac{4}{b}\quad\implies$$$$\frac{4}{b}=\frac{2}{3}+3=\frac{11}{3}\quad\implies\quad\frac{1}{b}=\frac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad b=\frac{12}{11}$$

3b) Hier gibt es tatsächlich ein $a$:

$$39\stackrel!=\int\limits_{-2}^a(-2x+12)dx=\left[-x^2+12x\right]_{-2}^a=(-a^2+12a)-(-4-24)=28+12a-a^2$$$$\implies a^2-12a+11=0\implies(a-11)(a-1)=0\implies a=11\,\lor\,a=1$$Hier gibt es also 2 Lösungen für $a$.

Answer 2

Wie weit kommst du selber? Kannst du Stammfunktionen bilden?

Hier nur meine Kontroll-Lösungen.

2. a) 27.5

2. b) 4

3. a) a = 12/11

3. b) a = 1 ∨ a = 11