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Aufgabe:In einem dritten Dreieck ABC sind folgende Größen bekannt: AC=13,6cm; BC=8,5cm; α=24°
Justus berechnet die Größe des Winkels β = 40,6°.
d) Zeige mithilfe einer Skizze, dass es zwei Ergebnisse für die Größe des Winkels β gibt.

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Hallo Lena,

konstruiere das Dreieck, indem Du eine Gerade \(c\) zeichnest, dort den Punkt \(A\) markierst, anschließend den Winkel \(\alpha=24°\) und die Strecke \(|AC|=13,6\,\text{cm}\) auf dem Schenkel des Winkels abträgst und einen Kreis um \(C\) mit dem Radius \(|BC|=8,5\,\text{cm}\) zeichnest:

blob.png

dieser Kreis um \(C\) schneidet die Gerade \(c\) zweimal in \(B_1\) und \(B_2\). Und somit erhältst Du auch zwei Dreiecke \(\triangle AB_1C\) und \(\triangle AB_2C\) als Lösung.

Die Berechnung von \(\beta\) kann über den Sinussatz geschehen. Es gilt$$\frac{\sin \beta}{b=|AC|} = \frac{\sin \alpha }{a=|BC|}$$Somit ist $$\sin \beta = \frac{\sin \alpha \cdot |AC|}{|BC|} = \frac{\sin(24°) \cdot 13,6\,\text{cm}}{8,5\,\text{cm}} \approx 0,6508$$Für \(\sin \beta = 0,6508\) hat aber \(\beta\) zwei Lösungen. Nämlich$$\beta_2 = 40,6°, \quad \beta_1 = 180°-\beta_2 = 139,4°$$Weil für jeden Wert von \(\beta\) gilt$$\sin(\beta) = \sin(180°-\beta)$$Gruß Werner

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