Ist die Funktion stetig?

Question

Für welche s ∈ ℝ ist die Funktion
f(x) = { |x|^s · sin(1/x), x≠0

       { 0 , sonst

stetig? Skizzieren Sie näherungsweise den Graphen von f(x) für s=1.

Kann mir Jemand bei dieser Aufgabe helfen? Ich weiß leider nicht wie ich vorgehen muss ..

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion ist stetig für alle $x\in\mathbb R^{\ne0}$, weil Summe, Produkt und Verkettung stetiger Funktionen wieder stetige Funktionen sind. Offen ist die Frage, ob die Funktion bei $x=0$ stetig ist.

Da $\sin\left(\frac{1}{x}\right)$ für $x\to0$ nicht konvergiert, sondern zwischen seinen Extremwerten $(-1)$ und $1$ alterniert, schätzen wir wie folgt ab:$$-1\le\sin\left(\frac{1}{x}\right)\le 1\quad\implies\quad -|x|^s\le |x|^s\sin\left(\frac{1}{x}\right)\le |x|^s$$

Für $s<0$ divergiert $|x|^s$. Für $s=0$ sind die unter Schranke $(-1)$ und der obere Schranke $1$ verschieden. Im Fall $s>0$ jedoch konvergieren für $x\to0$ sowohl die untere Schranke als auch die obere Schranke gegen $0$, sodass insbesondere $f(x)\to0$ für $x\to0$ konvergiert. Wegen der Betragszeichen gilt das für den links- und den rechtseitigen Grenzwert. Da zusätzlich der Funktionswert $f(0)=0$ als Sonderfall festgelegt ist, ist die Funktion stetig für alle $s>0$.

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f₁(x) = abs(x)·sin(1/x)Zoom: x(-1…1) y(-1…1)

Answer 2

Also um zu Prüfen, dass sie stetig ist, hast du hier Zwei Möglichkeiten

Entweder du arbeitest mit dem epsilon-delta-kriterium oder mit dem Folgenkriterium.,

Zunächst solltest du deine kritische Stelle identifizieren, diese ist hier offensichtlicherweise die 0.

Für den Beweis bieten sich eigentlich beide Möglichkeiten an. Beim Epsilon-Delta Kriterium musst du | |x|^s + sin(1/x)| nach oben abschätzen sodass du auf die Form |x| kommst, dass nach der Vorausetzung des Kriteriums kleiner als Delta ist und somit das wieder kleiner als epsilon. Dafür musst du eine Fallunterscheidung für das s machen und separat noch schauen, was für den anderen Fall passiert.

Andere Möglichkeit: Sei an gegen 0 konvergente Folge, setzte diese Folge ein schätze nach unten und oben ab und verwende Sandwich-Satz