Wie bestimme ich die Steigung der Tangente?

Question

Aufgabe:

Im Bereich x=-2 bis x=2 gibt es Stellen, an denen die Tangente an den Graphen von f eine größere Steigung besitzt als die Sekante s.

Geben Sie solche Stelle an und begründen Sie Ihre Angabe mithilfe einer Rechnung.

Die Sekante verläuft durch den Tiefpunkt T(-2 / 49/16) und den Hochpunkt H (2 / 81/16).

Problem/Ansatz:

Die Steigung der Sekante ist m=0,5.

Ich habe schon eine ähnliche Aufgabe auf dieser Seite gefunden, aber konnte den Rechenweg nicht nachvollziehen.

Wie gehe ich an dieser Stelle vor?

Answer 1

Wie bestimme ich die Steigung der Tangente?

Die Steigung der Tangente wird bestimmt mit der Ableitung.

Im Bereich x=-2 bis x=2 gibt es Stellen, an denen die Tangente an den Graphen von f eine größere Steigung besitzt als die Sekante s.

Das ist am Wendepunkt der Fall. Bestimme also den Wendepunkt.

Comments

Ich habe noch nie den Wendepunkt bestimmt, mache ich das einfach näherungsweise mit der hinreichende Bedingung oder wie?

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Geben Sie solche Stelle an

Aus dem Graphen kann man ablesen, dass die Funktion bei \(0\) eine größere Steigung als die Sekante hat.

begründen Sie Ihre Angabe mithilfe einer Rechnung.

Setze 0 in die Ableitung ein.

Ich habe noch nie den Wendepunkt bestimmt

Musst du auch in der EF noch nicht, kommt erst in der Q1. Falls du es trotzdem möchtest: Wendestellen sind Extremstellen der Ableitung.

Answer 2

Nur mal so:

Ich rekonstruiere die Funktion.

f(x)=ax^3+bx+65/16

81/16=8a+2b+65/16 → 8a+2b=1

f'(x)=3ax^2+b

0=12a+b → b=-12a

8a-24a=1 → a=-1/16 -->b=3/4

Im blauen Bereich ist die Bedingung erfüllt.

Die Steigung beim Durchgang durch die y-Achse beträgt 0,75, ist also größer als 0,5.

:-)