Berechnung Fouriertransformierte von f(x)

Question

Ich hätte eine Frage zur Berechnung der FT.

Aufgabe:

Berechnen Sie die Fouriertransformierte.

Text erkannt:

$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}3 x+1 & \text { für } & -1 \leq x \leq 1 \\ 0 & \text { sonst }\end{array}\right.$

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz:

Erst das Integral zu zerlegen (f₁(x) und f₂(x)) und die Stammfunktionen bilden. Danach addieren und lösen, dabei sollte eigentlich kein Fehler passiert sein. Meine Frage basiert eher auf dem letzten Teil wo ich zusammenfasse und in sin-cos-Terme umforme. Darf man das so machen? Ich berufe mich dabei auf den Zusammenhang

r·e^-ix = r·(cos(x)-sin(x))

r·e^ix = r·(cos(x)+sin(x)).

:)

Text erkannt:

$=\int \limits_{-1}^{1}(3 x+1) e^{-l \omega x} d x=\int \limits_{-1}^{1} 3 x e^{-t \omega x} d x+\int \limits_{-1}^{1} e^{-t \omega x} d x$
Stammfunktionen berechnen und zusammenfassen
$F_{1}(x)=\left[\frac{3 k x}{\omega} e^{-(\omega x]}\right]_{-1}^{1}-\int \limits_{-1}^{1} \frac{3 t}{\omega} e^{-\operatorname{tax}} d x=\left[\frac{3 x t}{\omega} e^{-\operatorname{lox} x}+\right.$
$\left.\frac{3}{\omega^{2}} e^{-t \omega x}\right]_{-1}^{1}$
$F_{2}(x)=\left[\frac{t}{\omega} e^{-\operatorname{lox} x}\right]_{-1}^{1}$
$F_{1}(x)+F_{2}(x)=\left[\frac{3 x d}{\omega} e^{-(\omega x)}+\frac{3}{\omega^{2}} e^{-l \omega x}+\frac{i}{\omega} e^{-\operatorname{lov} x}\right]_{-1}^{1}$
Integral berechnen
$=\frac{3 t}{\omega} e^{-t \omega}+\frac{3}{\omega^{2}} e^{-t \omega}+\frac{l}{\omega} e^{-l \omega}+\frac{3 t}{\omega} e^{l \omega}-\frac{3}{\omega^{2}} e^{t \omega}-\frac{l}{\omega} e^{l \omega}$
$=\left(\frac{3 t}{\omega}+\frac{3}{\omega^{2}}+\frac{t}{\omega}\right) e^{t \omega}+\left(\frac{3 t}{6}-\frac{3}{\omega^{2}}-\frac{4}{\omega}\right) e^{-\mathrm{ta}}$
$=\left(\frac{3 t \omega+3+l \omega}{\omega^{2}}\right) e^{t \omega}+\left(\frac{3 t \omega-3-l \omega}{\omega^{2}}\right) e^{-i \omega}$
Mit der Euler'schen Formel in trigonometrische Form umwandeln

Text erkannt:

$=\frac{3 t \omega+3+\operatorname{lo}}{\omega^{2}}(\cos (\omega)+i \sin (\omega))+\frac{3 i \omega-3-L \omega}{\omega^{2}}(\cos (-\omega)-$
$i \sin (-\omega))$
$$\overline{f(\omega)=\frac{3 i \omega+3+i \omega}{w^{2}}(\cos (\omega)+i \sin (\omega))+\frac{3 i \omega-3-i \omega}{w^{2}}(\cos (-\omega)-i \sin (-\omega))}$$

Text erkannt:

$F_{1}(x)=\left[\frac{a_{w}}{*}-k+1_{-1}^{1}-\int \limits_{-1}^{1}\right.$
$F_{2}(x)=\left[\frac{1}{x}--\operatorname{lan} 1\right]_{-1}^{1}$
$\widehat{f(\omega)}=\frac{3 i \omega+3+i \omega}{w^{2}}(\cos (\omega)+i \sin (\omega))+\frac{3 i \omega-3-i \omega}{w^{2}}(\cos (-\omega)-i \sin (-\omega))$

Text erkannt:

$-\left(\frac{4}{w}+\frac{7}{w}+\frac{1}{4}\right) \cdot t^{\omega}+\left(\frac{4}{w}-\frac{3}{x}-\frac{1}{4}\right) a^{-\infty}$
$\widehat{f(\omega)}=\frac{3 i \omega+3+i \omega}{w^{2}}(\cos (\omega)+i \sin (\omega))+\frac{3 i \omega-3-i \omega}{w^{2}}(\cos (-\omega)-i \sin (-\omega))$

Comments

Hallo,

im Prinzip geht das so. Allerdings scheint mir, Du hast 2 Rechenfehler:

- In der 2. Zeile unter "Integral berechnen" hast Du die Vorzeichen falsch übertragen.

- Du hast ersetzt $e^{-iw}=\cos(-w)-i \sin(-w)$, da muss es w und nicht -w sein (Beim cos ist das egal, beim sin nicht)

Gruß Mathhilf