Vektoren Rechnung für ein Rechteck innerhalb einer Funktion

Question

Aufgabe:

Auf dem vom Graphen der Funktion f und der x-Achse eingeschlossenen Fläche soll ein
Rechteck so festgelegt werden, dass eine Seite auf der x-Achse liegt, einer seiner Eckpunkte
der Wendepunkt des Graphen von f ist und ein weiterer Eckpunkt auf dem Graphen von f
liegt. Berechne die Länge und Breite dieses Rechtecks.

f(x) = 1/3x³ − 4x² + 12x₋  ∈ ℝ

Problem/Ansatz:

Der Wendepunkt ist (4/5,3 Periode)

Der andere Punkt kannebenfalls die Y koordinate 5,3 Periode haben aber den x Wert kenn ich nicht.

ich bitte um Hilfe

Answer 1

Hallo,

den x-Wert findest du heraus, indem du dein Ergebnis für f(x) einsetzt:

$\frac{1}{3} x^{3}-4 x^{2}+12 x=\frac{16}{3}$

$\frac{1}{3} x^{3}-4 x^{2}+12 x-\frac{16}{3}=0 \quad |: \frac{1}{3}$

$x^{3}-12 x^{2}+36 x-16=0$

Da dir ein x-Wert bekannt ist, kannst du eine Polynomdivision durchführen

https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision?div1=x3-12x2+36x-…

und brauchst nur noch

$x^2-8x+4=0$ zu berechnen.

Gruß, Silvia

Comments

Danke für die Antwort,

aber ich werde nicht ganz schlau was ich nun in den Polynomdivisionsrechner eingeben muss.

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Ich habe die Werte schon eingegeben.

$\left(x^{3}-12 x^{2}+36 x-16\right):(x-4)=x^{2}-8 x+4$

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es gibt da noch einen Trick, wie man sich die Polynomdivision sparen kann. Da die Koordinaten des Wendepunkts bekannt sind, kann man die kubische Funktion "um den Wendepunkt entwickeln". Sie besteht dann nur aus den Summanden von $x$ mit ungeraden Exponenten plus der Y-Kordinate der Wendestelle - also ohne Rechnung lässt sich schreiben:$$f(x) = \frac 13(x-4)^3 + c(x-4) + \frac{16}3$$Einzig das $c$ ist nicht bekannt. Und das erhält man, wenn man die Kooeffizienten vor $x^1$ vergleicht$$12x = \frac{3 \cdot 4^2}3x + cx \implies c = -4$$und anschließend lässt sich der Term leicht durch $(x-4)$ dividieren$$\begin{aligned} \frac 13(x-4)^3 -4(x-4) + \frac{16}3&= \frac{16}3\\ \frac 13(x-4)^3 -4(x-4) &= 0 &&|\,\div (x-4)\\ \frac 13(x-4)^2 - 4 &= 0 &&|\, +4, \space\cdot 3 \\ (x-4)^2 &= 12 &&|\,\sqrt{\space}\\ x_{1,2} -4 &= \pm \sqrt{12} \\ x_{1,2}&= 4 \pm 2\sqrt 3 \end{aligned}$$