Bestimmen Sie den Schnittwinkel \alpha zwischen den Ebenen.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sind die Ebenen
\( E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -5 \\ 4\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ -2\end{array}\right), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R} \)
\( E_{2}:-6 x+8 y+12 z-4=0 \)
Geben Sie dazu zunächst den Normalenvektor der Ebene \( E_{1} \) an:
\( \vec{n}_{1}=([, \quad) \)
Bestimmen Sie den Schnittwinkel \( \alpha \) zwischen den Ebenen.
Geben Sie das Ergebnis im Gradmaß, gerundet auf ganzzahlige Winkel an.
\( \alpha= \)

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte bitte eine lösung der Aufgaben mit Ansatz bitte.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\vec n_1=\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2-4\\0+10\\10-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\10\\10\end{pmatrix}$$Es gibt nicht den Normalenvektor, da man den Ergebnisvektor mit jeder beliebigen reellen Zahl ungleich \(0\) multiplizieren kann. Daher bin ich mir nicht sicher, was du als Ergebis angeben solltest. Du könntest z.B. \(\vec n_1\) noch durch \(2\) dividieren und \((-3;5;5)^T\) eintragen.

Der Winkel zwischen den Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren beider Ebenen:$$\alpha=\arccos\frac{\begin{pmatrix}-6\\10\\10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-6\\8\\12\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-6\\10\\10\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-6\\8\\12\end{pmatrix}\right\|}=\arccos\frac{236}{\sqrt{236}\cdot\sqrt{244}}=\arccos\sqrt{\frac{236}{244}}$$$$\phantom{\alpha}=\arccos\sqrt{\frac{59}{61}}\approx10,4322^\circ\approx10^\circ$$

Comments

Vielen lieben dank

Answer 2

Schnittwinkel zwischen 2 Vektoren,hier zwischen beiden Normalenvektoren der beiden Ebenen

(a)=accos|a*b|/(|a|*|b|)

Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

Betrag |a|=Wurzel(ax²+ay²+az²)

Betrag |b|=Wurzel(bx²+by²+bz²)

E1: Normalenvektor aus den beiden Richtungsvektoren u und v über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

a kreuz b=c   → u kreuz v=n

mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) (5/1/2) kreuz (0/2/-2)=(-6/10/10)  dividiert durch 2

n1(-3/5/5)

oder über das Skalarprodukt,weil ja der Normalenvektor senkrecht auf den Richtungsvektoren u und v steht

1) u*n=ux*nx+uy*ny+uz*nz=0

2) v*n=vx*nx+vy*ny+vz*nz=0

wir setzen nz=1

1) ux*nx+uy*ny=-1*uz

2) vx*nx+vy*ny=-1*vz

dieses lineare Gleichungssystem (LGS) muß nun gelöst werden → Unbekannte,nx und ny

(a)=accos|n1*n2|/(|n1|*|n2|)

n1*n2=(-3/5/5)*(-3/4/6)=(-3)*(-3)+5*4+5*6=59

Betrag |n1|=Wurzel((-3)³+5²+5²)=W(59)

Betrag |n2|=Wurzel((-3)²+4²+6²=W(61)

(a)=accos|59/(|W(59)|*|W(61)|=0,9834..→ (a)=10,43°