Bestimmen Sie den Schnittwinkel \alpha zwischen den Ebenen.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben sind die Ebenen
$E_{1}: \vec{x}=\left(\begin{array}{c}3 \\ -5 \\ 4\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{l}5 \\ 1 \\ 2\end{array}\right)+\mu\left(\begin{array}{c}0 \\ 2 \\ -2\end{array}\right), \quad \lambda, \mu \in \mathbb{R}$
$E_{2}:-6 x+8 y+12 z-4=0$
Geben Sie dazu zunächst den Normalenvektor der Ebene $E_{1}$ an:
$\vec{n}_{1}=([, \quad)$
Bestimmen Sie den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen den Ebenen.
Geben Sie das Ergebnis im Gradmaß, gerundet auf ganzzahlige Winkel an.
$\alpha=$

Problem/Ansatz:

Ich bräuchte bitte eine lösung der Aufgaben mit Ansatz bitte.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\vec n_1=\begin{pmatrix}5\\1\\2\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2-4\\0+10\\10-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-6\\10\\10\end{pmatrix}$$Es gibt nicht den Normalenvektor, da man den Ergebnisvektor mit jeder beliebigen reellen Zahl ungleich $0$ multiplizieren kann. Daher bin ich mir nicht sicher, was du als Ergebis angeben solltest. Du könntest z.B. $\vec n_1$ noch durch $2$ dividieren und $(-3;5;5)^T$ eintragen.

Der Winkel zwischen den Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren beider Ebenen:$$\alpha=\arccos\frac{\begin{pmatrix}-6\\10\\10\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-6\\8\\12\end{pmatrix}}{\left\|\begin{pmatrix}-6\\10\\10\end{pmatrix}\right\|\cdot\left\|\begin{pmatrix}-6\\8\\12\end{pmatrix}\right\|}=\arccos\frac{236}{\sqrt{236}\cdot\sqrt{244}}=\arccos\sqrt{\frac{236}{244}}$$$$\phantom{\alpha}=\arccos\sqrt{\frac{59}{61}}\approx10,4322^\circ\approx10^\circ$$

Comments

Vielen lieben dank

Answer 2

Schnittwinkel zwischen 2 Vektoren,hier zwischen beiden Normalenvektoren der beiden Ebenen

(a)=accos|a*b|/(|a|*|b|)

Skalarprodukt a*b=ax*bx+ay*by+az*bz

Betrag |a|=Wurzel(ax²+ay²+az²)

Betrag |b|=Wurzel(bx²+by²+bz²)

E1: Normalenvektor aus den beiden Richtungsvektoren u und v über das Vektorprodukt (Kreuzprodukt)

a kreuz b=c   → u kreuz v=n

mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) (5/1/2) kreuz (0/2/-2)=(-6/10/10)  dividiert durch 2

n1(-3/5/5)

oder über das Skalarprodukt,weil ja der Normalenvektor senkrecht auf den Richtungsvektoren u und v steht

1) u*n=ux*nx+uy*ny+uz*nz=0

2) v*n=vx*nx+vy*ny+vz*nz=0

wir setzen nz=1

1) ux*nx+uy*ny=-1*uz

2) vx*nx+vy*ny=-1*vz

dieses lineare Gleichungssystem (LGS) muß nun gelöst werden → Unbekannte,nx und ny

(a)=accos|n1*n2|/(|n1|*|n2|)

n1*n2=(-3/5/5)*(-3/4/6)=(-3)*(-3)+5*4+5*6=59

Betrag |n1|=Wurzel((-3)³+5²+5²)=W(59)

Betrag |n2|=Wurzel((-3)²+4²+6²=W(61)

(a)=accos|59/(|W(59)|*|W(61)|=0,9834..→ (a)=10,43°