0 Daumen
136 Aufrufe

Aufgabe:

x^3 - 4*x + 4 = 0

Problem/Ansatz:

x*(x^2-4+4/x)=0
x^1=0

x^2+4/x-4=0

Hallo, ich möchte diese Polynomgleichung dritten Grades lösen und
die werte x1, x2 und x3 ausrechnen.
Ich komme irgenwie nicht weiter.

Auch nach Ausklammern von x kann ich die andere quadratische Gleichung

mit der pq oder abc -Formel nicht lösen.

Einen Online-Rechner zur Lösung hilft mir nicht weiter,
da ich den Lösungsweg brauche.

Hat jemand einen Lösungsansatz.


Gruß Jan

vor von

x^3 - 4*x + 4 = 0

Hier kannst du x nicht ausklammern.

Im Falle von z.B.

x^3 - 4*x^2 + 4x = 0 ist es möglich:

x*(x^2 - 4*x + 4) = 0

x₁=0

x^2 - 4*x + 4 = 0

...

Hast du x^3 - 4*x + 4 = 0 richtig abgeschrieben? Wenn es x^3 - 4*x + 3 = 0 heißt, kannst du eine Nullstelle erraten und mit der Polynomdivision fortfahren.

Ersetze deine Frage nicht durch eine vollstaendig andere Frage. Stelle stattdessen eine neue Frage, sonst passen die bereits erhaltenen Antworten nicht zu der neuen Frage.

Cardano- Formel ginge auch.

Ist allerdings unangenehm zu benutzen.

Ich habe mich bei der eigentlichen

Aufgabe verrechnet, daher habe ich es geändert. Ich werde es nicht wieder machen und vorher genau prüfen.

3 Antworten

0 Daumen

Kann man so mit normalen Mitteln nicht lösen.

mit meinem Graphikrechner (GTR,Casio) x=-2,3829..

dann noch 2 konjugiert komplexe LÖsungen (keine reellen Nullstellen,Schnittstellen mit der x-Achse)

z1=1,191..+i 0,5088.. und z2=1,191..- i 0,5088..

Vorgehensweise

1) die Nullstelle x=-2,3829.. angnähert durch probieren ermitteln

2) den angenäherten Wert dann mit einer der beiden Näherungsformel verbessern

Newton (Tangentenverfahren)

Regula falsi (Sehenverfahren)

Infos vergrößern und/oder herunterladen

Näherungsformeln.JPG

Text erkannt:

Maherungsformeln zur Istellenbest:
Iahren) )/f'f.
1) Sewton (Tangentenvertanren, \( x 1 \) dicht an der Nullstel1e
2) Resula falsi (Sehnenverfahren) \( \times 3=\times 2-(x 2-x 1) /(y 2-y 1)^{*} y 2 \)
Sullstelle liegt avischen \( x 1 \) w. Formeln an,wenn die an keine Man wendet e1 ganzen Zahlen 'se
o 2
-asprten We
Nullstel1e,die zwischen der
beiden Werten \( x 1 \) und \( x^{2} \) \( x^{2} \) muB grober \( x 1 \) sein 1 Die Formeln werden mehrmals angewendet,bis die Genauigkeit uue weht (z.Bsp. 2 Stellen hinter dem KOmma genau).dann bricht reicht \( (z, B s p \) das Verfahren

Beispiel: ganzrationale Funktion 3.Grades (kubische Funktion) \( y=f(x)=a 3^{*} x^{3}+a 2^{*} x^{2}+a 1^{*} x+a 0 \)
Vorkommen, dass die Nullstellen keine ganze Zahlen sind, Es kann vornuu. dann geht man wie fe
henwechsel" uberprifen Worzeichenwechsel"statt,so liegt zuisn -indestens 1 NULLSTBLLE. diesen beiden x-Werten mindestens Hinveis:Es gibt auch Funktionen,wo der Graph die x-Achse nur w
4) hat man eine Nullstelle lokalisiert,so berbessert man den
5) 1iegt nun der x-Wert nahe an de iden "Näherungsformeln" an
6) die Năherungsformel wird mehrmals angewendet, bis die GEnauigkeft ausreicht und dann wird abgebrochen.

Ist eine Nullstelle ermittelt,so kann man eine "Polynomdivision" durchfuhren und man erhält dann eine Funktion, die eine Parabel 1st (bei der kubischen Funktion), Parabe1 \( y=f(x)=a 2^{*} x^{2}+a 1+x+a 0 \)
\( 0=x^{2}+p^{*} x+q \) Nullstellen mit der D-q-Forme1 \( \times 1,2=-p / 2+/-\sqrt{(p / 2)^{2}-q} \)
Hinveis: Bei Aufgaben,die mit "normalen Mitteln" nicht lösbar sin sind, setzt man einen Graphikrechner (GTR) ein

Mit efnem GTR erspart man sich sehr viel Rechnerei und vie1 Zeit

 ~plot~x^3-4*x+4;[[-10|10|-10|10]];x=-2,38~plot~

vor von 6,7 k

Vielen Dank, mit Newton-Verfahren geht es zu lösen. Anders wohl nicht.

Anders geht's auch. Die exakte Lösung lautet:
\(x=-\dfrac13\left(\sqrt[3\,]{6(9+\sqrt{33})}+\sqrt[3\,]{6(9-\sqrt{33})}\right)\).

Danke, das ist dann die genaueste Lösung, wie haste das rausbekommen?

Substituiere \(x=\tfrac u3+\tfrac4u\) und erhalte \(\left(u^3+54\right)^2=1188\). Bestimme daraus \(u\) und resubstituiere.

Dankeschön bist echt top in Mathe

Es gibt da auch eine spezialformel,die im Mathe-Formelbuch steht.

Die wird aber meinstens nich angewendet

Kapitel,Kubische Gleichung mit einer Variablen

allgemeine Form A*x³+B*x²+C*x+D=0

Normalform {x|x³+a*x²+b*x+c=0}

Lösung durch Substitution (ersetzen) x=y-a/3

reduzierte Form y³+p*y+q=0

Cardanische Lösungsformel für die reduzierte Form

usw.

Den Rest kannst du selber abschreiben,wenn du dir ein Mathe-Formelbuch privat aus einem Buchladen besorgst.

0 Daumen

Hallo

so kannst du nicht ausklammern! du siehst ja direkt, dass x=0 keine Lösung ist.

Mit Mitteln der Schule kannst du das nicht lösen, Wenn du die Funktion zeichnen lässt, siehst du dass die einzige Nullstelle bei etwa -2,56 liegt. Kann es sein, dass du entweder die Falsche Funktion hast, oder ein Näherungsverfahren benutzen sollst? Du scheinst nicht mehr auf der Schule, so vermute ich ihr hattet vielleicht das Newton Verfahren? Startwert -2 oder -3 führen schnell zum Ziel.

Gruß lul

vor von 63 k 🚀
0 Daumen

Gegeben sei die Funktion f(x) = x^3 + b*(x - 1)  mit einem reellen Parameter b.
a) Für welche Werte von b hat die Funktion an der Stelle x = -1 ein Extremum?

f(x) = x^3 + b*x - b

f´(x)=3x^2+b

f´(-1)=3*1^2+b=3+b

3+b=0

b=-3

f(x) = x^3 -3*(x - 1)

Unbenannt1.PNG

vor von 10 k

Vielen Dank mit welchem Tool hast du das gezeichnet? GeoGebra?

Nach meiner Meinung ist GeoGebra ein gutes Werkzeug.

GeoGebra ist wirklich top.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community