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Die Abbildung zeigt eine quadratische Pyramide, deren Grundfläche in der \( \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2} \) -Ebene liegt.
a) Bestimmen Sie die fehlenden Koordinaten der Eckpunkte B, D und \( E \) sowie des Mittelpunktes \( \mathrm{P} \) der Kante \( \overline{\mathrm{AE}} \).
b) Die Ebene \( F \) enthält die Punkte \( \mathrm{P}, Q \) und \( \mathrm{R} \). Sie schneidet die
Kante DE im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S.
c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Geraden BE und QR?162334634896335252453442888734.jpg

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Naja ich weiß halt einfach nicht wie die geht..

Naja ich weiß halt einfach nicht wie die geht..

Verrate uns doch bitte mal genau, was Du nicht weißt wie es geht. Ich kann mir nicht vorstellen, dass Du nicht weißt, wie man zu den Koordinaten von B, C und E kommst - oder?

blob.png

wenn Du auf das Bild klickst findest Du dort alle Lösungen zu Deiner Aufgabe. Stelle bitte konkrete Fragen zum Lösungsweg.

Kann b) & c) nicht

Ich schrieb:

Stelle bitte konkrete Fragen zum Lösungsweg.

Du schriebst:

Kann b) & c) nicht

das ist keine konkrete Frage. Dann frage ich mal:

Kannst Du die Geradengleichung für die Gerade durch die Punkte D und E aufstellen?

Kannst Du eine Ebenengleichung für die Ebene F aufstellen, die die Punkte P, Q und R enthält?

Falls Nein: kannst Du die Vektoren \(\vec{PQ}\) und \(\vec{PR}\) aufstellen?

Ähhhmmmm... Ne weiß ja nicht woran es liegt, also kann ich auch keine konkrete Frage stellen.. von PQ müsste müsste doch q - p machen oder nicht?

Also? Wie geht das denn jetzt?

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Punkte der Grundfläche A,B,C und D kannst du aus der Zeichnung ablesen.Die Punkt liegen symetrisch zum Ursprung

A(4/-4/0) → B(4/4/0) liegt gegenüber von A → Kantenlänge a=8 LE (Längeneinheiten)

D(-4/-4/0)  liegt gegenüber von A

C(-4/4/0) liegt gegenüber von B

E(0/0/z) liegt über der Mitte der Grundfläche A,B,C,D

Gerade im Raum g: x=a+r*m

A(ax/ay/az) → Ortsvektor a(ax/ay/az)

B(bx/by/bz) → Ortsvektor b(bx/by/bz)

Richtungsvektor m von Punkt A nach Punkt B → b=a+m → AB=m=b-a

g: x=a+r*(b-a)

Gerade von B nach Q → h: x=(bx/by/bz)+s*(q-b) → Q(3/3/4) → Ortsvektor q(3/3/4)

Punkt E(0/0/z) → Ortsvektor e(0/0/z)  gleichgesetzt

(0/0/z)=(bx/by/bz)+r*(q-b)

x-Richtung:1) 0=bx+s*(qx-bx)

y-Richtung: 2) 0=by+s*(qy-by)

z-Richtung: 3) z=bz+s*(qz-bz)  → bz=0 → qz=4  ergibt dann ez=s*4

Hinweis: s muss alle 3 Gleichungen erfüllen

P(px/py/pz) liegt auf der halben Strecke A → P t: x=(ax/ay/az)+r*(e-a)  → r=0,5

(px/py/pz)=(ax/ay/az)+0,5*[(ex/ey/ez)-(ax/ay/az)]

den Rest schaffst du wohl selber.Ist nur viel Rechnerei

Infos,vergrößern und/oder herunterladen.

Raumgerade u Ebene.JPG

Text erkannt:

Gerade is
Homeseparaneter wird \( \mathrm{r}=1 \) gesetzt
Bleichgesetat ergibt: (bx/by/bz)-(ax/ay/a \( -8 i c h t u n g: b x=a x+1 * m x e r_{B}+a t= \)
\( : A(a \times / a y / a z) \sin A d x \)
\( 8(B x / b y / b z) \) sind die \( x, y \) und \( z \) koordinaten dei
Abstand von 2 punkten in Raun Hfer ist der "Betrag" von d 21 \( (3-v)^{2}+1 \)
\( S_{k} a \operatorname{lar} p r o d u k t \quad a^{*} b-a x^{*} b x+a y^{*} b y+a z^{*} b z \)
stehen die beiden Vektoren a und das Skalarprodukt gleich NULL \( 1 ! \) Wsenkrecht" aufeinander,so ist
\( -180-a^{*} b-a x^{*} b x+a y^{*} b y+a z^{*} b z=0 \)
Zbenen Dreipunktgleichung der Zben \( t \ldots \)
segeben sind die 3 Punkte \( a(\mathrm{ax} / \mathrm{ay} / \mathrm{az}) \) und \( \mathrm{b}(\mathrm{b} \mathrm{x} / \mathrm{by} / \mathrm{bz}) \) und \( \mathrm{c}(\mathrm{cx} / \mathrm{c} \mathrm{y} \)
\( c(c x / c y / c z) \)
\( 1 \mathrm{t}\left(\overrightarrow{6}+\vec{b}-\vec{a}^{b}\right) \) und \( \vec{v}=(\vec{c}-\overrightarrow{8}) \)
Normalengleichung der Ebene \( \mathrm{E}:(\vec{x}-\vec{a})=\overrightarrow{\vec{d}}=0 \quad \mathrm{n}(\mathrm{nx} / \mathrm{ng} / \mathrm{nz}) \) -Nornalen
Der Normalenvektor steht "senkrecht" auf den Richt unesvelen
Koordinatengleichung der Bbene \( \mathrm{E}: \mathrm{a}^{+} \mathrm{x}+\mathrm{b}^{*} \mathrm{y}+\mathrm{c}^{*} \mathrm{z}+\mathrm{d}=0 \)
\( \underline{\text { Vektorprodukt (Kreuzprodukt) }} \)
Hiermit kann man den "Normalenvektor" fur die Bbene bestingen

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Hallo,

Also? Wie geht das denn jetzt?

Gut, dass Du nachgefragt hast ... ;-)

Ne weiß ja nicht woran es liegt, also kann ich auch keine konkrete Frage stellen..

das ist ziemlich schlimm. D.h. dass Dir da bereits massiv Grundlagen fehlen. Das macht das Antworten von unserer Seite nicht einfach!

.. von PQ müsste müsste doch q - p machen oder nicht?

Ja das ist richtig - wenn man den Vektor von \(P\) nach \(Q\) berechnet, so zieht man die Koordinaten von \(Q\) von denen von \(P\) ab. Konkret $$\vec{PQ} = Q - P = \begin{pmatrix}3\\ 3\\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\ 5\\ -4\end{pmatrix}$$Jetzt weißt Du vielleicht nicht, wie man zu den Koordinaten von \(P\) kommt, davon später.

Betrachten wir zunächst den Punkt \(E\). \(E\) liegt offensichtlich auf der Z-Achse (\(X_3\)-Achse) und daher ist seine X- und Y-Koordinate \(=0\) (bzw. \(X_1\)- und \(X_2\)-Koordinate). Die Z-Koordinate folgt aus der Positiion der Punkte \(B\) und \(Q\). Klar ich könnte Dir jetzt vorrechnen, wie Du die Gerade durch \(B\) und \(Q\) aufstellst und dann den Schnittpunkt dieser Geraden mit der Z-Achse berechnest. Halte ich aber für sinnfrei. IMHO würdest Du das bestenfalls abschreiben ohne kapiert zu haben, was da abgeht.

Deshalb habe ich Dir die Pyramide in Lego nachgebaut (solltest Du auch tun; muss ja kein Lego sein)

blob.png

Zur Orientierung habe ich Dir die Punkte \(A\) und \(B\) markiert. Das sind die unteren beiden Ecken. Ein Noppen ist eine Einheit in horizontaler Richtung und eine Lage Steine soll eine Einheit in vertikaler Richtung darstellen. Der Punkt \(Q\) ist unter dem kleinen violetten Stein hinter dem Auge. \(Q\) hat die \(X_3\)-Koordinate 4 und muss demnach 4 Steinlagen hoch liegen.

Jetzt versuche bitte heraus zu bekommen, welche Z-Koordinate (bzw. \(X_3\)-Koordinate) der Punkt \(E\) hat. Tipp: \(E\) befindet sich oben auf der Pyramide in der Mitte.

Das Ziel ist es doch, den Punkt \(S\) zu berechnen. \(S\) ist der Schnittpunkt der Geraden \(g\) durch \(D\) und \(E\) und der Ebene \(F\), die durch die drei Punkte \(P\), \(Q\) und \(R\) definiert ist. Die Gerade \(g\) durch \(D\) und \(E\) wird i.A. so aufgestellt:$$g: \quad \vec x = D + t \cdot (E-D) \\ \phantom{g: \quad \vec x} = \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ 0\end{pmatrix} + t \left( \begin{pmatrix}0\\ 0\\ 16\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ 0\end{pmatrix} \right) \\ \phantom{g: \quad \vec x}  = \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 16\end{pmatrix}$$

Ist Dir klar wieso die Geradengleichung so aussieht?

Als nächstes brauchen wird die Ebene \(F\). Das ist im Prinzip wie bei einer Geraden, nur eben mit zwei Richtunsgvektoren. Hier ist \(F\)$$\begin{aligned}F: \quad \vec x &= P + r(Q-P) + s(R-P) \\ &= \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} + r\left(\begin{pmatrix}3\\ 3\\ 4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} \right) + s\left(\begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} \right) \\&= \begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\ 5\\ -4\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 4\end{pmatrix}\end{aligned}$$Im Schnittpunkt \(S\) muss das \(\vec x\) der Gerade \(g\) derselbe Punkt sein wie das \(\vec x\) der Ebene \(F\). Also setzen wir beides gleich$$\begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}1\\ 5\\ -4\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ 0\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 16\end{pmatrix}$$und sortieren so um, dass alle Parameter auf einer Seite landen$$r\begin{pmatrix}1\\ 5\\ -4\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 4\end{pmatrix} - t \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ 0\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}2\\ -2\\ 8\end{pmatrix} \\ r\begin{pmatrix}1\\ 5\\ -4\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-3\\ 3\\ 4\end{pmatrix} + t \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ -16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-6\\ -2\\ -8\end{pmatrix}$$Dies ist ein sogenanntes lineares Gleichungssystem mit den drei Unbekannten \(r\), \(s\) und \(t\). Wir müssen das nicht vollständig lösen, es reicht das \(t\) zu berechnen.

Weißt Du wie das geht?

Das Ergebnis ist \(t=11/14\). Und damit kann man den Punkt \(S\) berechnen, indem man dieses \(t\) in die Geradengleichung für \(g\) einsetzt (s.o.):$$S = g\left(t= \frac{11}{14}\right) = \begin{pmatrix}-4\\ -4\\ 0\end{pmatrix} + \frac{11}{14} \cdot \begin{pmatrix}4\\ 4\\ 16\end{pmatrix} = \frac 17 \begin{pmatrix}-6\\ -6\\ 88\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}-0,857\\ -0,857\\ 12,571\end{pmatrix}$$


c) Unter welchem Winkel schneiden sich die Geraden BE und QR?

Den Winkel zwischen zwei Vektoren - und das sind hier die Vektoren \(\\vec{BE}\) und \(\vec{QR}\) - bekommt man aus dem Skalarprodukt der Vektoren heraus. Ist \(\alpha\) der Winkel zwischen den Vektoren, so gilt$$ \vec{BE} \cdot \vec{QR} = |\vec{BE}| \cdot |\vec{QR}| \cdot \cos(\alpha)$$umgstellt nach \(\cos(\alpha)\) gibt das $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{BE} \cdot \vec{QR}}{|\vec{BE}| \cdot |\vec{QR}| }$$Dazu musst man natürlich wissen, wie man Skalarprodukt und Betrag berechnet.

Weißt Du das?

Das Ergebnis ist $$\cos(\alpha) = \frac{(-4)\cdot(-4) + (-4)\cdot(-2)+ 16\cdot 8}{\sqrt{(-4)^2+ (-4)^2 +16^2} \cdot \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2 + 8^2}} = \frac{152}{\sqrt{24192}} \approx 0,9773 \\ \implies \alpha \approx 12,2°$$


Ich gehe davon aus, dass Dir einiges unklar ist. Versuche immer konkrete Fragen zu stellen. Du musst dringend die Basics nachholen. Was ist ein Punkt im Koordinatensystem? Was ist ein Vektor? Was bedeutet eine Geradengleichung in Parameterform?

Gruß Werner

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E (0/0/16) . Also die Idee mit der selbstgebauten Pyramide ist ja echt schön, gut und nett von Ihnen....Aber das verwirrt mich mehr, als das es mir weiter hilft

Aber das verwirrt mich mehr, als das es mir weiter hilft

Was verwirrt Dich denn daran? Das hat ja immerhin geholfen auf die Koordinate von \(E\) zu kommen! \(E(0|\,0|\, 16)\) ist richtig.

Naja, dass sieht ja nicht unbedingt so aus, wie es aussehen soll.. und um ehrlich zu sein, hab ich das von der Antwort von der_mathecoatch.. ich weiß nicht, wie ich sowas ablesen soll usw..

Naja, dass sieht ja nicht unbedingt so aus, wie es aussehen soll.. und um ehrlich zu sein, hab ich das von der Antwort von der_mathecoatch.. ich weiß nicht, wie ich sowas ablesen soll usw..

Oh je! ... nochmal von vorn. Wie hoch ist eine Lage Steine in Koordinaten?

Die legosteine sind jetzt gemeint, oder?

Die legosteine sind jetzt gemeint, oder?

Ja Steine sind hier Legosteine. Wie hoch soll eine Lage Legosteine in Koordinaten sein? und wie weit ist ein Noppenabstand in horizontaler Richtung?

PS.: Legos sind nun mal ein wenig eckig, Stelle Dir einfach vor, die Ecken müssen noch abgeschliffen werden. Dann ist der oben gezeigte Turm der kleinst mögliche, der die Pyramide komplett enthält (auch wenn hinten ein paar Steine fehlen, ich habe nicht so viele von der Sorte)

Hallo - bist Du noch da? Ist die Frage zu schwer, oder magst Du nicht mehr?

Das ist 8 oder nicht?

Das ist 8 oder nicht?

Nein - eine Lage Steine ist nicht 8 Längeneinheiten hoch. Tipp: lese den Text in der Antwort. Den Absatz unterhalb des Bildes.

Ja da steht, dass das eine Einheit sein soll

Ja da steht, dass das eine Einheit sein soll

Ja genau das soll eine Einheit sein. Und genauso soll ein Noppenabstand von einem Noppen zum anderen auf einem Legostein eine Einheit in horizontaler Richtung sein.

Wo ist der Punkt \(B\)? Bzw. warum ist \(B\) dort, wie Der_Mathecoach geschrieben hat?

Wie viel cm soll denn eine Einheit sein?

Wo ist der Punkt \(B\)? Bzw. warum ist \(B\) dort, wie Der_Mathecoach geschrieben hat?

Ja gute Frage..

Wie viel cm soll denn eine Einheit sein?

das ist völlig WURSCHT! Für die Aufgabe ist es völlig(!) irrelevant, ob die Einheiten cm, km oder Lichtjahre oder LDUs sind. Lediglich für die Berechnung des Winkels in (c) ist es notwendig, dass die Einheiten in jeder Richtung gleich lang sind.

Wo ist der Punkt \(B\)? Bzw. warum ist \(B\) dort, wie Der_Mathecoach geschrieben hat?

Ja gute Frage..

Nochmal Oh je! Bist Du sicher, dass Du die Oberstufe (eines Gymnasiums?) besuchst?

Wenn Du Dir die Pyramide anschaust, so könnte man doch auf die Idee kommen, dass sie symmetrisch ist, d.h. der Mittelpunkt der Pyramide liegt genau im Ursprung des abgebildeten Koordinatensystems. Das ist auch deshalb so, weil die Spitze direkt auf der \(X_3\)-Achse liegt.

Aus der Symmetrie folgt, dass die Abmessungen der Pyramide in jeder (horizontalen) Richtung gleich sind.

Der Punkt \(A\) hat die Koordinaten \(A(4|\,-4|\, 0)\). Was bedeuten diese Koordinaten?

Nochmal Oh je! Bist Du sicher, dass Du die Oberstufe (eines Gymnasiums?) besuchst?

Müssen ja nicht direkt persönlich werden.. Also normalerweise bin ich echt sehr gut in mathe, aber bei analytische Geometrie fehlt mir ein bisschen so die vorstellkraft undso & seit des wechelunterrichts ist es einfach nur schlimmer...

Der Punkt \(A\) hat die Koordinaten \(A(4|\,-4|\, 0)\). Was bedeuten diese Koordinaten?

Wie was sollen die bedeuten? Ist halt quasie der 1. Punkt

Müssen ja nicht direkt persönlich werden..

Ok - Entschuldigung, vergessen wir's

aber bei analytische Geometrie fehlt mir ein bisschen so die vorstellkraft

das ist wohl das Grundproblem. Ich kann da nur Lego enmpfehlen, oder auch andere Bausteine oder einfach mit Papier, Schere, Lineal und Klebstoff. Einfach mal basteln. Das übt wirklich!

Wie was sollen die bedeuten? Ist halt quasie der 1. Punkt

Die Frage bezieht sich auf die Koordinaten von \(A\). Die erste Koordinate von \(A\) ist eine 4. Wofür steht die 4?

Wenn Du's echt nicht wissen solltest, dann schau Dir mal diese Skizze an

blob.png

sie zeigt die Pyramide von oben. D.h. nur die \(X_1\)- und \(X_2\)-Koordinaten. Die erste 4 bei \(A\) ist der Abstand von Ursprung \(O\) in \(X_1\)-Richtung. Die zweite Koordinate (-4) von \(A\) der Abstand von \(O\) in \(X_2\)-Richtung. Und weil \(A\) links von \(O\) liegt - also in der Gegenrichtung wie sie der Pfeil von \(X_2\) anzeigt - muss diese Koordinate negativ sein.

Du musst doch bereits lineare Funktionen gehabt haben. Da gibt es Achsenabschnitte und Steigungsdreiecke. Und man muss auch Koordinaten im Koordinatensystem finden ... das ist hier genau dasselbe.

Hallo - bist Du noch da?

ich habe inzwischen die Antwort vervollständigt (s.o). Du hast sicher noch Fragen. Bleibe dran und frage weiter.

Ja mache gerade meine lernblätter, widme mich der Aufgabe morgen wieder

Was ist ein Punkt im Koordinatensystem?

Ich weiß nicht was Sie damit meinen. Ein Punkt im Koordinatensystem zeigt doch einfach eben einen Punkt im Koordinatensystem, oder wie ist das gemeint?

Ich weiß nicht was Sie damit meinen. Ein Punkt im Koordinatensystem zeigt doch einfach eben einen Punkt im Koordinatensystem, oder wie ist das gemeint?

Na ja - oben hast Du die Frage, was die erste 4 in den Koordinaten von \(A(4|\,-4|\,0)\) ist, nicht beantwortet. Es geht nicht nur darum zu wissen, dass diese 4 die \(X_1\)-Koordinate ist, sondern auch eine geometrische Vorstellung von dieser 4 zu haben.

Wenn Du die Frage, wo alle Punkte liegen, die als \(X_1\) koordinate eine 4 haben, nicht auf Anhieb beantworten kannst, so hast Du das auch nicht verstanden. So kannst Du auch nicht wissen, wie man zu \(B\) kommt.

Was soll denn die 4 sein?

Was soll denn die 4 sein?

genau das soltest Du verstehen lernen ;-)

vielleicht hilft das Bild, was ich vor ca. einem Tag im Kommentar gepostet habe (s.o.).

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