Alembertsche Reduktionsverfahren um Lösungen zu finden

Question

Die Legendresche Differentialgleichung ist

$y''=\frac{2x}{1-x^2}y'-\frac{2}{1-x^2}y \enspace\enspace für -1<x<1$

a) Überprüfen Sie, dass $\varphi_1(x)=x$ eine Lösung ist.

b) Verwenden Sie das d'Alembertsche Reduktionsverfahren, um auf dem Intervall ]0,1[ eine zu $\varphi_1$ linear unabhängige Lösung $\varphi_2$ zu finden.

c) Zeigen Sie, dass sich $\varphi_2$ als Funktion auf ]-1,1[ auffassen lässt und dort die Legendresche Differentialgleichung löst.

Answer 1

Hallo,

a)

φ₁(x)=x

φ₁'(x)=1

φ₁''(x)=0 ->in die -->DGL einsetzen

0=0  ->φ₁(x)=x ist eine Lösung

b) Ansatz:

y= υ *x

y'= u'x+u

y''=u''x +2 u'

in die DGL einsetzen und vereinfache.

c) Ergebnis von b 2 Mal ableiten und in die DGL einsetzen.

Es muß die linke Seite= rechten Seite sein