Aufgabe:
Kann mir jemand erklären, wie darauf komme, dass der Konvergenzradius r der folgenden Potenzreihe e ist.
∑n=0∞ \sum\limits_{n=0}^{\infty}{} n=0∑∞(1+1n)n2(x+1)n (1+\frac{1}{n})^{n^{2}}(x+1)^{n} (1+n1)n2(x+1)n
Weil ich kam da auf r = 1... Vielleicht kann mir das jemand Schritt für Schritt vorrechnen.. Danke ;)
Wenn die Reihe bei n=0 beginnt, gibt's ein Problem mit 1/n. Sonst scheint mir der Konvergenzradius nicht e, sondern 1/e zu sein.
Aloha :)
Nach Cauchy-Hadamard ist der Konvergenzradiusr=1limn→∞∣an∣n=1limn→∞(1+1n)n2n=1limn→∞(1+1n)n=1er=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n}=\frac{1}{e}r=n→∞limn∣an∣1=n→∞limn(1+n1)n21=n→∞lim(1+n1)n1=e1
Der Konvergenzradius ist also r=1er=\frac{1}{e}r=e1 und der Konvergenzbereich folgt aus
∣x+1∣<r=1e ⟹ −1e<x+1<1e ⟹ −1e−1<x<1e−1|x+1|<r=\frac1e\implies-\frac1e<x+1<\frac1e\implies-\frac1e-1<x<\frac1e-1∣x+1∣<r=e1⟹−e1<x+1<e1⟹−e1−1<x<e1−1
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