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Aufgabe:

Verbindet man die Mittelpunkte der Flächen eines Würfels, so erhält man ein Oktaeder.
1) Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Flächen des Oktaeders gleichseitige Dreiecke sind.
2) Betrachten Sie zwei der Dreiecksflächen des Oktaeders, die eine gemeinsame Kante haben. Berechnen Sie den Winkel der beiden Ebenen durch diese beiden Flächen.

blob.png


Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wirklich genau wie ich die Nummer 2 berechnen soll. Kann mir bitte jemand weiterhelfen?

von

2 Antworten

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1) Symmetrie

2) Berechne den Winkel zwischen den Normalen der zwei Ebenen.

von 76 k 🚀

Könntest du mir bitte einen Ansatz für die Nummer 2 geben? Ich habe wirklich keine Ahnung wie ich das angehen soll.

  1. Bestimme die Koordinaten der Ecken einer Dreiecksfläche.
  2. Bestimme aus den Ecken eine Parameterform der Ebene, die durch diese Ecken verläuft.
  3. Bestimme aus den Spannvektoren der Parameterform einen Normalenvektor \(\vec{n}_1\) der Ebene.
  4. Bestimme ebenso einen Normalenvektor \(\vec{n}_2\) einer anderen Dreiecksfläche, die eine gemeinsame Kante mit der ersten Dreiecksfläche hat.
  5. Bestimme den Winkel \(\alpha\) zwischen diesen Vektoren mittels

            \(\cos\alpha = \frac{\vec{n}_1\cdot\vec{n}_2}{\left|\vec{n}_1\right|\cdot\left|\vec{n}_2\right|}\)

Ahso danke. Aber wie soll ich die Koordinaten den bestimmen. In der Abbildung ist es irgendwie kompliziert?

Mittelpunkte der Flächen eines Würfels

Bestimme die Koordinaten der Ecken einer Fläche des Würfels.

Bestimme daraus die Koordinaten des Punktes, der in der Mitte zwischen den vier Ecken liegt.

Wäre das Ergebnis dann 120°? Da bei einem gleichseitigen Dreieck alle Winkel 60° betragen.

Oder wäre es 109,3°?

Wäre das Ergebnis dann 120°? Da bei einem gleichseitigen Dreieck alle Winkel 60° betragen.

Die zwei Dreiecke liegen nicht in der gleichen Ebene. Deshalb darfst du die Winkel nicht einfach addieren um den Gesamtwinkel zu berechnen.

Außerdem geht es um den Winkel zwischen den Dreiecken und nicht um den Winkel zwischen den Kanten der Dreiecke.

Oder wäre es 109,3°?

Der gesuchte Winkel ist offensichtlich kleiner als 90°.

Könntest du mir bitte irgendwie weiter helfen? Ich komme einfach nicht voran.

Bei welchem meiner 5 Punkte bist du stecken geblieben? Welche Ergebnisse hast du bei den schon bearbeiteten Punkten?

Also ich habe die Koordinaten des Würfels: A (0/1/0), B (1/1/1), C (0/0/0); D (1/0/0), E (1/0/0), F (1/1/0)

Wie soll ich jetzt weiter vorgehen?

Formel für den Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(PQ\):

        \(\vec{OM} = \frac{1}{2}\left(\vec{OP} + \vec{OQ}\right)\).

Mittelpunkte der Flächen eines Würfels

Das ist in einem Quadrat der Mittelpunkt einer Diagonalen.

Berechne damit die Mittelpunkte der Flächen des Würfels.

wäre dann die Parameterform: E: x= (0,5/0,5/0)+ r(0,5/0/0,5)+u(0/0/1)?

Irgendwie ist mein endgültiges Ergebnis jetzt 0, was nicht nicht verstehe warum ich darauf komme.

Sind 90° richtig?

Also ich habe die Koordinaten des Würfels: A (0/1/0), B (1/1/1), C (0/0/0); D (1/0/0), E (1/0/0), F (1/1/0)

Du hast einem der Punkte den Namen \(E\) gegeben.

wäre dann die Parameterform: E: ...

Du hast der Ebene den Namen \(E\) gegeben.

Bitte vergebe innerhalb einer Aufgabe jeden Namen nur für ein Objekt. Die Namen dienen dazu, im weiteren Verlauf über diese Objekte zu reden ohne jedes mal kompliziert zu beschreiben, um welches Objekte es sich handelt. Wenn ich dir jetzt sagen würde, du sollst den Abstand zwischen \(E\) und \(D\) berechnen, dann wüsstest du nicht ob ich den Punkt \(E\) oder die Ebene \(E\) meine.

x= (0,5/0,5/0)+ r(0,5/0/0,5)+u(0/0/1)?

Der Spannvektor (0/0/1) verläuft senkrecht nach oben.

Keines der Dreiecke verläuft senkrecht nach oben.

Der Spannvektor (0/0/1) ist deshalb falsch.

Eine Parameterform der Ebene durch die Punkte \(P\), \(Q\) und \(R\) ist

        \(\vec{x} = \vec{OP} + r\cdot\vec{PQ} + u\cdot\vec{PR}\).

Eckpunkte des Oktaeders sind \(I=\left(\frac{1}{2},0,\frac{1}{2}\right)\), \(J=\left(1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\), \(K=\left(\frac{1}{2},1,\frac{1}{2}\right)\), \(L=\left(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\), \(M=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1\right)\) und \(N=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0\right)\)

Ist das Ergebnis 87,99°?

Wäre die Parametergleichung so richtig: (0,5/0,5/0)+s((0,5/0/0,5)+t(0/-0,5/0,5)?

Das ist die Parametergleichung der linken unteren vorderen Seitenfläche des Oktaeders.

Könntest du mir vielleicht einen weiteren Tipp geben? Ich arbeite schon so lange dran und habe ehrlich gesagt keine Ahnung mehr wie ich das machen soll

keine Ahnung mehr

Dann vergiss die ganze Vektorrechnung, der gesuchte Winkel ist gleich dem Winkel zwischen zwei (halben) Raumdiagonalen ( d = a*√3) des Würfels und ergibt sich problemlos aus dem Kosinussatz.

Ist dieses Ergebnis falsch: 87,99°?

Ich habe jetzt 109,5° raus. Was ist damit?

Könntest du mir vielleicht einen weiteren Tipp geben?

Befolge die fünf Schritte, die ich dir weiter oben genannt habe.

Ich habe jetzt 109,5° raus. Was ist damit?

Falsch, ebenso wie 88.79°.

Leider kann ich dir nicht sagen, bei welchem der fünf Schritte du einen Fehler gemacht hast.

Das problem ist das ich den Fehler nicht finde. Meine Rechnungen sind alle korrekt. Vielleicht liegt es am Ansatz. Was wäre den dein Ansatz also mit der Parametergleichung?

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Bezeichne 4 Eckpunkte:

blob.png

Berechne dann die Gleichungen der Ebenen durch je drei Punkte in Normalenform. Berechne den Schnittwinkel zwischen den Normalen.

von 103 k 🚀

wäre dann die Gleichung: E: x= (0,5/0,5/0)+ r(0,5/0/0,5)+u(0/0/1)?

Irgendwie ist mein endgültiges Ergebnis jetzt 0, was nicht nicht verstehe warum ich darauf komme.

Sind 90° richtig?

Du musst unterscheiden zwischen Ortsvektoren zu der von mir bezeichneten Punkte und den Richtungsvektoren zwischen je zwei benachbarten Punkten.

Ist das Ergebnis 87,99°?

Rechne mal vor. Dann sehe ich, wo der Fehler ist.

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