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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f f mit f(x)=x2ex f(x)=x^{2} e^{-x} .

a. Ermitteln Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion f f sowie die Schnittpunkte des Graphen von f f mit den Koordinatenachsen.
b. Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie und Asymptoten.
c. Ermitteln Sie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen.
d. Skizzieren Sie den Graphen von f f für 1<x<7 -1<x<7 .



Problem/Ansatz:

Bitte die ganze Aufgabe lösen bitte

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Ganze Aufgabe

3 Antworten

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a) Schau Dir die Funktion an und überlege, ob sie für irgendwelche Bereiche von ℝ nicht definiert ist (z.B. Division durch Null, Wurzel negativer Zahlen) und wo welche Koordinatenachse geschnitten wird.

b) Schau den Graphen an und überlege, ob er irgendwo achsen- oder punktsymmetrisch ist, und überlege, dass er für x → ∞ asymptotisch gegen y = 0 geht.

c) Finde das Minimum beim Ursprung, das lokale Maximum in der Region x = 2, den Wendepunkt von Links- nach Rechtskurve zwischen x = 0 und x = 2 und den Wendepunkt von Rechts- nach Linkskurve zwischen x = 2 und x = 6.

d) siehe Kommentar zur Frage


Zu diesem Zweck solltest Du die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion bilden.

Avatar von 47 k

Ableitung mit Hilfe der Produktregel:

d/dx (uv) = d/dx (u) * v + u * d/dx (v)


erste Ableitung:

d/dx x2e-x = 2x * e-x + x2 * (- e-x)

= e-x (2x - x2)

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a) D= R. keine Einschränkung

x-Achse: f(x)=0

x2*e^-x=0

x2=0 -> (0/0)

x=0

y-Achse:

f(0)= 0 -> (0/0)

b) keine Symmetrie

x-Achse ist Asymptote, f(x) ->0 für x->+oo

c) Extrema:

f '(x)=0

2x*e^-x+x2*(-1)*e^-x =0

e^-x(2x-x2)=0

2x-x2=0

x(2-x)=0

x=0 v x= 2


Wendepunkt: f ''(x)=0

...

https://www.ableitungsrechner.net/

Avatar von 81 k 🚀

Danke, Tippfehler. Ist ediert. :)

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f(x)= x^2 *ex e^{-x} =x2ex \frac{x^2}{e^x}

Nullstellen:

x2=0      x=0 ist doppelte Nullstelle

Schnitt mit y-Achse:

f(0)=02e0 \frac{0^2}{e^0} =0

Extremwerte:

f(x)=2xexx2ex(ex)2=2xx2ex f^{\prime}(x)=\frac{2 x \cdot e^{x}-x^{2} \cdot e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}=\frac{2 x-x^{2}}{e^{x}}
2xx2ex=0 \frac{2 x-x^{2}}{e^{x}}=0
x(2x)=0 x(2-x)=0
x1=0f(0)=0 x_{1}=0 \rightarrow f(0)=0 \rightarrow war schon Nullstelle
2x=0 2-x=0
x2=2f(2)=22e2=4e20,54 x_{2}=2 \rightarrow f(2)=\frac{2^{2}}{e^{2}}=\frac{4}{e^{2}} \approx 0,54
Art der Extremwerte:
f(x)=(22x)ex(2xx2)ex(ex)2=(22x)(2xx2)ex=24x+x2ex f^{\prime \prime}(x)=\frac{(2-2 x) \cdot e^{x}-\left(2 x-x^{2}\right) \cdot e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}=\frac{(2-2 x)-\left(2 x-x^{2}\right)}{e^{x}}=\frac{2-4 x+x^{2}}{e^{x}}
f(0)=240+02e0=2>0 f^{\prime \prime}(0)=\frac{2-4 \cdot 0+0^{2}}{e^{0}}=2>0 \rightarrow Minimum
f(2)=242+22e2=2e2<0 f^{\prime} \cdot(2)=\frac{2-4 \cdot 2+2^{2}}{e^{2}}=\frac{-2}{e^{2}}<0 \rightarrow Maximum
Wendepunkte:
24x+x2ex=0 \frac{2-4 x+x^{2}}{e^{x}}=0
x24x=2 x^{2}-4 x=-2
(x2)2=2+4=2 (x-2)^{2}=-2+4=2 \mid \sqrt{ }
1.) x2=2 x-2=\sqrt{2}
x1=2+23,41f(2+2)= x_{1}=2+\sqrt{2} \approx 3,41 \rightarrow f(2+\sqrt{2})=\ldots
2.) x2=2 x-2=-\sqrt{2}
x2=220,585f(22)= x_{2}=2-\sqrt{2} \approx 0,585 \rightarrow f(2-\sqrt{2})=\ldots

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