Kurvendiskussion bei Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{2} e^{-x} \).

a. Ermitteln Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Funktion \( f \) sowie die Schnittpunkte des Graphen von \( f \) mit den Koordinatenachsen.
b. Untersuchen Sie den Graphen auf Symmetrie und Asymptoten.
c. Ermitteln Sie die Extrem- und Wendepunkte des Graphen.
d. Skizzieren Sie den Graphen von \( f \) für \( -1<x<7 \).

Problem/Ansatz:

Bitte die ganze Aufgabe lösen bitte

Comments

Und womit genau hast Du nun Probleme?

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Ganze Aufgabe

Answer 1

a) Schau Dir die Funktion an und überlege, ob sie für irgendwelche Bereiche von ℝ nicht definiert ist (z.B. Division durch Null, Wurzel negativer Zahlen) und wo welche Koordinatenachse geschnitten wird.

b) Schau den Graphen an und überlege, ob er irgendwo achsen- oder punktsymmetrisch ist, und überlege, dass er für x → ∞ asymptotisch gegen y = 0 geht.

c) Finde das Minimum beim Ursprung, das lokale Maximum in der Region x = 2, den Wendepunkt von Links- nach Rechtskurve zwischen x = 0 und x = 2 und den Wendepunkt von Rechts- nach Linkskurve zwischen x = 2 und x = 6.

d) siehe Kommentar zur Frage

Zu diesem Zweck solltest Du die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion bilden.

Comments

Ableitung mit Hilfe der Produktregel:

d/dx (uv) = d/dx (u) * v + u * d/dx (v)

erste Ableitung:

d/dx x²e^-x = 2x * e^-x + x² * (- e^-x)

= e^-x (2x - x²)

Answer 2

a) D= R. keine Einschränkung

x-Achse: f(x)=0

x^2*e^-x=0

x^2=0 -> (0/0)

x=0

y-Achse:

f(0)= 0 -> (0/0)

b) keine Symmetrie

x-Achse ist Asymptote, f(x) ->0 für x->+oo

c) Extrema:

f '(x)=0

2x*e^-x+x^2*(-1)*e^-x =0

e^-x(2x-x^2)=0

2x-x^2=0

x(2-x)=0

x=0 v x= 2

Wendepunkt: f ''(x)=0

...

https://www.ableitungsrechner.net/

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Danke, Tippfehler. Ist ediert. :)

Answer 3

f(x)= x^2 *\( e^{-x} \)=\( \frac{x^2}{e^x} \)

Nullstellen:

x^2=0      x=0 ist doppelte Nullstelle

Schnitt mit y-Achse:

f(0)=\( \frac{0^2}{e^0} \)=0

Extremwerte:

\( f^{\prime}(x)=\frac{2 x \cdot e^{x}-x^{2} \cdot e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}=\frac{2 x-x^{2}}{e^{x}} \)
\( \frac{2 x-x^{2}}{e^{x}}=0 \)
\( x(2-x)=0 \)
\( x_{1}=0 \rightarrow f(0)=0 \rightarrow \) war schon Nullstelle
\( 2-x=0 \)
\( x_{2}=2 \rightarrow f(2)=\frac{2^{2}}{e^{2}}=\frac{4}{e^{2}} \approx 0,54 \)
Art der Extremwerte:
\( f^{\prime \prime}(x)=\frac{(2-2 x) \cdot e^{x}-\left(2 x-x^{2}\right) \cdot e^{x}}{\left(e^{x}\right)^{2}}=\frac{(2-2 x)-\left(2 x-x^{2}\right)}{e^{x}}=\frac{2-4 x+x^{2}}{e^{x}} \)
\( f^{\prime \prime}(0)=\frac{2-4 \cdot 0+0^{2}}{e^{0}}=2>0 \rightarrow \) Minimum
\( f^{\prime} \cdot(2)=\frac{2-4 \cdot 2+2^{2}}{e^{2}}=\frac{-2}{e^{2}}<0 \rightarrow \) Maximum
Wendepunkte:
\( \frac{2-4 x+x^{2}}{e^{x}}=0 \)
\( x^{2}-4 x=-2 \)
\( (x-2)^{2}=-2+4=2 \mid \sqrt{ } \)
1.) \( x-2=\sqrt{2} \)
\( x_{1}=2+\sqrt{2} \approx 3,41 \rightarrow f(2+\sqrt{2})=\ldots \)
2.) \( x-2=-\sqrt{2} \)
\( x_{2}=2-\sqrt{2} \approx 0,585 \rightarrow f(2-\sqrt{2})=\ldots \)