Aufgabe:
Welche der folgenden Mengen sind Unterräume von \(\mathbb{R^2}\)?
(i) \( \left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \mid x^{2}+y^{2}=1\right\} \)
(ii) \( \left\{\alpha\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right)+\beta\left(\begin{array}{l}2 \\ 1\end{array}\right)+\gamma\left(\begin{array}{l}3 \\ 3\end{array}\right) \mid \alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}\right\} \)
(iii) \( \left\{\left(\begin{array}{c}x \\ 2 x\end{array}\right) \mid x \in \mathbb{R}\right\} \)
(iv) \( \left\{\left(\begin{array}{l}x \\ 2\end{array}\right) \mid x \in \mathbb{R}\right\} \)
(v) \( \left\{\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \mid x, y \in \mathbb{Q}\right\} \)
Problem/Ansatz:
Woher weiß ich, welches dieser Mengen Unterräume des \(\mathbb{R^2}\) sind?
Ich bin mir ziemlich sicher, dass (i) und (iv) keine Unterräume sind, weil der Nullvektor nicht enthalten ist, aber sonst weiß ich nicht weiter.
Wäre für jede Hilfe dankbar!
LG, About8Genjis
